சராசரி மதிப்புத் தேற்றம் | கணிதவியல் - லெக்ராஞ்சியின் சராசரி மதிப்புத் தேற்றம் (Lagrange's Mean Value Theorem) | 12th Maths : UNIT 7 : Applications of Differential Calculus

12 ஆம் வகுப்பு கணிதம் : அத்தியாயம் 7 : வகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள்

லெக்ராஞ்சியின் சராசரி மதிப்புத் தேற்றம் (Lagrange's Mean Value Theorem)

f (x) ஆனது மூடிய இடைவெளி [a,b]-ல் தொடர்ச்சியானதாகவும், திறந்த இடைவெளி (a,b)-ல் வகையிடத்தக்கதாகவும் (f(a), f (b)) ஆகியவை சமமாக இருக்க வேண்டிய அவசியம் இல்லை). உள்ளது என்க. அப்போது குறைந்தபட்சம் ஒரு புள்ளி C ∈ (a,b)-யினை f'(c) = f(b) – f(a) / b-a

தேற்றம் 7.3

f'(c) = f(b) – f(a) / b-a .... (6)

எனுமாறு காணலாம்.

குறிப்புரை

f(a) = f(b) எனில் லெக்ராஞ்சியின் சராசரி மதிப்புத் தேற்றம் ரோலின் தேற்றத்தைத் தரும். லெக்ராஞ்சியின் சராசரி மதிப்புத் தேற்றத்தினை சுழன்ற ரோலின் தேற்றம் என்கிறோம்.

குறிப்புரை

இத்தேற்றத்தின் உள்ளார்ந்த விளக்கமானது (a,b) என்ற இடைவெளியில் f(x)-ன் சராசரி மாறுவீதத்தை f(b) – f(a)/b-a யும் மற்றும் C-யில் கணநேர மாறுவீதத்தை 'f'(c)யும்குறிக்கிறது.

லெக்ராஞ்சியின் இடைமதிப்புத் தேற்றத்தின் வடிவக் கணித விளக்கமானது ஒரு இடைவெளியில் சராசரி மாறுபாட்டு வீதமானது, அந்த இடைவெளியின் உள்ளிருக்கும் ஒரு புள்ளியில் கணநேர மாறுவீதத்திற்குச் சமமாக இருக்கும். இதனை கீழ்க்கண்ட எடுத்துக்காட்டின் மூலம் உணரலாம்.

ஒரு மகிழுந்தானது 200 மீ தூரத்தை 8 வினாடி காலத்தில் கடக்கிறது எனில் இதன் சராசரி திசைவேகம் 200/8 = 25 மீ/வி ஆகும். இந்த 8 வினாடி கால இடைவெளியினுள் ஏதேனும் ஒரு நேரத்தில் மகிழுந்தின் வேகம் காட்டும் கருவி சரியாக 25 மீ/வி அதாவது 90 கி.மீ/மணியினைக் காட்டும் என்பதை சராசரி மதிப்புத் தேற்றம் உறுதி செய்கின்றது.

தேற்றம் 7.4

f(x) என்ற சார்பானது மூடிய இடைவெளி [a,b]-ல் தொடர்ச்சியானதாகவும், திறந்த இடைவெளி (a,b)-ல் வகையிடத்தக்கதாகவும் மற்றும் f'(x) > 0, ∀x ∈ (a,b) ஆகவும் இருந்தால், x1 , x2, ∈[a,b] -க்கு, x1< x2, எனில் f (x1) < f (x2) ஆகும்.

நிரூபணம்

சராசரி மதிப்புத் தேற்றப்படி, c ∈(x1, x2,) ⊂ (a, b) ஆனது

f (x2) - f (x1) / x2 – x1 = f'(c) என்றவாறு காணலாம்

f'(c) > 0 , மற்றும் x2 – x1 > 0 என்பதால் f (x2)- f (x1) > 0 ஆகும்.

இதிலிருந்து நாம் x1 < x2 எனில் f (x1) < f (x2) எனப் பெறலாம்.

குறிப்புரை

f'(x) < 0, ∀x ∈ [a,b] மற்றும் x1, x2 ∈ [a,b] -க்கு x1 < x2 எனில் f (x1) > f (x2) ஆகும். இதனையும் மேற்கண்ட முறையிலேயே நிறுவலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 7.25

f(x) = x - x2, 1 ≤ x ≤ 2 என்ற சார்பிற்கு (1,2) என்ற இடைவெளியில் சராசரி மதிப்புத் தேற்றத்தை நிறைவு செய்யும் மதிப்பினைக் காண்க.

தீர்வு

f(x) ஆனது கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளியில் வரையறுக்கப்பட்டு மற்றும் 1 < x < 2 என்ற இடைவெளியில் வகையிடத்தக்கதாகவும் உள்ளது. மேலும் f (1) = 0 மற்றும் f (2) =-2. எனவே, சராசரி மதிப்புத் தேற்றப்படி C∈ (1,2) ஆனது

f’(c) = f (2) – f(1) / 2 -1 = 1 - 2C என்று இருக்கும்.

அதாவது, 1-2c = -2 ⇒ c = 3/2 ஆகும்.

வடிவ கணித விளக்கம்

y = f (x) என்ற வளைவரைக்கு சராசரி மதிப்புத் தேற்றத்தின் வடிவ கணித விளக்கமானது முனைப்புள்ளிகள் x = a மற்றும் x = b வழியேசெல்லும் நாணுக்கு இணையாக ஒரு தொடுகோட்டின் தொடும் புள்ளியினை C∈ (a,b) என்றவாறு காண இயலும்.

லெக்ராஞ்சியின் சராசரி மதிப்புத் தேற்றத்தின் விளைவுகள்

சராசரி மதிப்புத் தேற்றத்தின் வாயிலாக நாம் கீழ்க்காணும் மூன்று முக்கிய முடிவுகளைப் பெறலாம்.

(1) கொடுக்கப்பட்ட சார்பின் ஓரியல்புத் தன்மையை தீர்மானம் செய்ய பயன்படுகிறது. (தேற்றம் 7.4)

(2) f'(x) = 0, ∀ x ∈ (a,b) எனில், f ஆனது (a,b)-ல் ஒரு மாறிலி ஆகும்.

(3) f'(x) =g'(x) ∀ x எனில், f (x) = g(x) + C ஆகும். (இங்கு C ஏதேனும் ஒரு மாறிலி)

Tags : Mean Value Theorem | Mathematics சராசரி மதிப்புத் தேற்றம் | கணிதவியல்.

12th Maths : UNIT 7 : Applications of Differential Calculus : Lagrange’s Mean Value Theorem Mean Value Theorem | Mathematics in Tamil : 12th Standard Tamil Medium School Samacheer Book Back Questions and answers, Important Question with Answer. 12 ஆம் வகுப்பு கணிதம் : அத்தியாயம் 7 : வகை நுண்கணிதத்தின் பயன்பாடுகள் : லெக்ராஞ்சியின் சராசரி மதிப்புத் தேற்றம் (Lagrange's Mean Value Theorem) - சராசரி மதிப்புத் தேற்றம் | கணிதவியல் : 12 ஆம் வகுப்பு புத்தகம் கேள்விகள் மற்றும் பதில்கள்.