உகமக் கணக்குகளில் பயன்பாடுகள்(Applications in Optimization)

உகமக் கணக்குகளில் பயன்பாடுகள்(Applications in Optimization)

உகமக் கணக்குகள் என்பது அறுதி மதிப்புகளை (பெருமம் அல்லது சிறுமம்) குறிப்பிட்ட கட்டுப்பாடுகளுடன் காண்பது ஆகும். 

அறுதி மதிப்பு அல்லது உகமக் கணக்குகளை தீர்க்கும் முறை

படி 1 : தேவையான அளவுகளுடன் கூடிய படத்தை வரைக. 

படி 2 : எந்த அளவையை பெருமமாக்க அல்லது சிறுமமாக்க வேண்டுமோ அதற்கான சமன்பாட்டினைக் காண்க. 

படி 3 : கொடுக்கப்பட்ட கட்டுப்பாடுகளுடன் தேவையான அளவை பெருமமாக அல்லதுசிறுமமாக்க வேண்டும். 

படி 4 : கணக்கில் கொடுக்கப்பட்ட கட்டுப்பாடுகளுக்கு ஏற்றவாறு மாறியின் ஏற்கத்தக்கஇடைவெளிகளை காணவேண்டும். 

படி 5 : அறுதி மதிப்புகளை காணும் முறையினை கொண்டு (மீப்பெரு அல்லது மீச்சிறுஅறுதிகள், முதல் வகைக்கெழு சோதனை அல்லது இரண்டாம் வகைக்கெழு சோதனை) பெருமம் அல்லது சிறுமம் காணவேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு 7.62

நம்மிடம் 12 அலகு பக்க அளவுடைய மெல்லிய சதுர தகடு உள்ளது மற்றும் வெளிப்புறத்தின் மூலைகளிலிருந்து சிறிய சதுரங்களை வெட்டி பக்கங்களை மடிப்பதன் மூலம் திறந்த பெட்டியை உருவாக்க விரும்புகிறோம். கேள்வி என்னவென்றால், எந்த வெட்டு அதிகபட்ச கன அளவை உருவாக்கும்? 

தீர்வு

x = வெட்டி எடுக்கப்படும் ஒவ்வொரு சிறிய சதுரங்களின் நீளம் என்க.

V = மடிப்பதன் மூலம் பெறப்படும் பெட்டியின் கன அளவு என்க. 

நீளத்தின் இரு மூலைகளிலும் x நீளமுள்ள சதுரத்தை வெட்டிய பின் நீளம் 12-2x. மடித்த பின்பு பெட்டியின் ஆழம் x. எனவே, கன அளவு V = x × (12 - 2x)2 ஆகும். x = 0 அல்லது 6-ல் கன அளவு பூச்சியமாவதைக் கவனிக்க. எனவே, x = 0 அல்லது 6 எனில் பெட்டி கிடைக்காது. எனவே, V = x × (12 - 2x)2 , x∈  (0,6)-ஐ பெருமப்படுத்த வேண்டும்.

இப்பொழுது, dv/dx = (12-2x)2 - 4x(12- 2x)

= (12 - 2x) (12 - 6x)

dV/dx = 0 ⇒ x = 2,6. 6 ∉ (0,6) என்பதால் x = 2 ∈ (0,6) என்பது மட்டுமே தேக்கநிலை எண். மேலும் dV/dx -ன் குறி x = 2-ஐ கடக்கும்போது மிகையிலிருந்து குறைக்கு மாறுகிறது. எனவே x = 2-ல் V ஆனது இடஞ்சார்ந்த பெரும் மதிப்பினை அடையும். இந்த இடஞ்சார்ந்த பெரும கன அளவு V = 128 அலகுகள். எனவே பெரும கன அளவிற்கு 2 அலகுகள் வெட்ட வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு 7.63

(1,1) என்ற புள்ளியில் இருந்து, ஓரலகு வட்டம் x2 + y2 = 1-ன் மீதுள்ள எப்புள்ளி மிக அருகாமையிலும், எப்புள்ளி மிக அதிகத் தொலைவிலும் இருக்கும்? 

தீர்வு 

(1,1) என்ற புள்ளியில் இருந்து எந்த ஒரு புள்ளி (x,y)-க்கு உள்ள தூரம் d = √(x-1) 2 + (y-1) 2  d-ல் கணக்கிடுவதற்குப் பதில், நம் வசதிக்காக D = d2 = (x-1) 2 + (y-1)2 -ல் கணக்கிடுவோம்.

இங்கு கட்டுப்பாடானாது x2 + y2 =1 ஆகும். இப்பொழுது, dD/dx = 2(x-1) + 2(y-1) × dy/dx. இங்கு dy/dx -யினை x2 + y2 =1-ஐ வகையிட்டு கணக்கிடலாம். எனவே, 2x + 2y dy/dx = 0 ⇒ dy/dx = - x/y இதனைப் பிரதியிட நாம் பெறுவது dD/dx  = 2(x-1) +2(y-1) (-x/y)

= 2[xy-y-xy+x] / y

எனவே, dD/ dx = 2[x-y/y] = 0

⇒ x = y

 (x,y) ஆனது x2 + y2 = 1 என்ற வட்டத்தின் மீது அமைவதால்

2x2  = 1 ⇒ x = ± 1/√2 ஆகவே அறுதி தாரங்கள் (1/√2 , 1/√2 ),(- 1/√2, - 1/√2 )என்ற புள்ளிகளில் கிடைக்கும்.

இப்பொழுது, d2D /dx2  = 2 y2  + x2 / y3

மேலும் (d2D /dx2)(1/√2,1/√2) > 0; (d2D /dx2)(1/√2,1/√2) < 0 

இரண்டாம் வகைக்கெழு சோதனையின்படி மிக அருகாமையில் மற்றும் மிக தொலைவில் உள்ள புள்ளிகள் முறையே (1/√2 , 1/√2 ) மற்றும் (- 1/√2 , 1/√2 ) ஆகும்.

எனவே, மிகக்குறைந்த மற்றும் மிக அதிக தூரங்கள் முறையே √2-1 மற்றும் √2+1 ஆகும். 

எடுத்துக்காட்டு 7.64

ஒரு எஃகு ஆலை ஒரு நாளைக்கு குறைந்த தர எஃகு 'x' டன்னும் மற்றும் உயர்தர y எஃகு டன்னும் உற்பத்தி செய்யும் திறன் கொண்டது. இங்கு y = 40 – 5x / 10 – x  குறைந்த தர எஃகின் சந்தை விலை உயர்தர எஃகின் சந்தை விலையில் பாதி என்றால், அதிக பண வரவைப் பெறுவதற்கு குறைந்த தர எஃகு மற்றும் உயர்தர எஃகு ஆகியவற்றின் உகந்த உற்பத்திகள் என்னவாக இருக்க வேண்டும்? 

தீர்வு

ஒரு டன் குறைந்த தர எஃகின் விலை ₹p என்க. எனவே ஒரு டன் உயர்ந்த தர எஃகின் விலை ₹2p ஆகும். 

நாள் ஒன்றிற்கு பணவரவை R = px  + 2py = px + 2p (40 – 5x / 10 – x) ஆகவே நாம் R-ஐ பெருமமாக்க வேண்டும். R -ஐ x -ஐப் பொருத்து வகையிட,

R = P (80 – x2 / 10 - x )

dR/dx = p (x2 – 20x + 80 / (10 - x) 2)

d2R/dx2 = -40p / (10 - x) 3

இப்பொழுது, dR/dx = 0 ⇒  x2 - 20x + 80 = 0

மேலும் இதிலிருந்து x = 10±2√5 எனப் பெறலாம். 

x = 10-2√5-ல் d2R/dx2 < 0 மேலும் இதிலிருந்து R பெரும மதிப்பை x = 10 - 2√5 -ல் அடையும். x = 10- 2√5 எனில் y = 5 - √5 ஆகும். எனவே, தரம் குறைந்த மற்றும் தரம் உயர்ந்த எஃகுகளை நாள் ஒன்றிற்கு முறையே 10 - 2 √5 மற்றும் 5 - √5 டன்கள் உற்பத்தி செய்ய வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு 7.65

கொடுக்கப்பட்ட பரப்புடைய செவ்வகங்களுள் சதுரம் மட்டுமே குறைந்த சுற்றளவைக் கொண்டு இருக்கும் என நிறுவுக. 

தீர்வு

செவ்வகத்தின் பக்க நீளங்கள் x,y என்க. எனவே, செவ்வகத்தின் பரப்பு xy = k (கொடுக்கப்பட்டது). செவ்வகத்தின் சுற்றளவு 2(x+y). நாம் 2(x+y)-ஐ xy = k என்ற கட்டுப்பாட்டைக் கொண்டு சிறுமப்படுத்த வேண்டும்.

P(x) = 2(x + k/x) என்க.

P'(x) = 2(1- k/x2)

P'(x) = 0 ⇒  x = ± √k 

x,y ஆகியவை செவ்கத்தின் பக்க நீளங்கள் என்பதால் x = √k என்பது ஒரு நிலை எண் ஆகும்.

இப்பொழுது, 

P"(x) = 4k / x3 மற்றும் P"(√k) > 0. 

⇒ x = √k -வில் P(x) சிறும மதிப்பை அடையும்.

x = √k என xy = k -ல் பிரதியிட y = √k எனப் பெறலாம். எனவே, கொடுக்கப்பட்ட பரப்புடைய செவ்வகங்களுள் சதுரம் மட்டுமே சிறும சுற்றளவினைப் பெற்றிருக்கும்.