வளைவரை வரைதல் (Sketching of Curves)

வளைவரை வரைதல் (Sketching of Curves)

ஒரு சார்பின் வளைவரையை கையின் துணையுடனோ அல்லது வளைவரையை வரையும் மென்பொருள் துணையுடனோ வரையும்போது நாம் வளைவரை முழுமையையும் காட்ட முடியாது. வளைவரையின் ஒரு பகுதியை மட்டுமே வரைய முடியும். எந்தப் பகுதியை வரைய வேண்டும் மற்றும் அப்பகுதியை எவ்வாறு முடிவு செய்வது என்பது முக்கியமான கேள்வியாகும். நாம் வளைவரையினை சிறந்த முறையில் காணத் தேவைப்படும் செவ்வகத்தை முடிவு செய்ய சில வழிகாட்டுதல்களை கீழே எண்ணிடப்பட்டுள்ளன. அவையாவன:

(i) சார்பின் சார்பகம் மற்றும் வீச்சகம் 

(ii) வளைவரையின் வெட்டுத்துண்டுகள் (இருந்தால்). 

(iii) சார்பின் நிலைப்புள்ளிகள். 

(iv) இடஞ்சார்ந்த அறுதி மதிப்புகள். 

(v) குழிவு இடைவெளிகள்.

(vi) வளைவு மாற்றப் புள்ளிகள் (இருந்தால்). 

(vii) வளைவரையின் தொலைத் தொடுகோடுகள் (இருந்தால்) 

எடுத்துக்காட்டு 7.69

y = f (x) = x2  – x - 6 என்ற வளைவரையை வரைக.

தீர்வு

கொடுக்கப்பட்ட சார்பை காரணிப்படுத்த நமக்குக் கிடைப்பது y = f (x) = ( x -3)(  x + 2).

 (1) சார்பு f (x) -ன் சார்பகம் முழு மெய் எண் கோடாகும்.

(2) y = 0 எனப் பிரதியிட, x = -2,3 எனப் பெறலாம். எனவே, x-வெட்டுத்துண்டுகள் (-2,0) மற்றும் (3,0). x = 0 எனப் பிரதியிட y = -6 எனப் பெறலாம். எனவே, y -வெட்டுத்துண்டு (0,-6) 

(3) f(x) = 2x - 1 மேலும் இதிலிருந்து x = 1/2–ல்வளைவரையின் நிலைப்புள்ளி அமையும். 

(4) f"(x) = 2 > 0, ∀x. எனவே, x = 1/2-ல் வளைவரை இடஞ்சார்ந்த சிறும மதிப்பை அடையும். இதன் மதிப்பு f(1/ 2) = -25/4

(5) சார்பின் வீச்சகம் y ≥  - 25/4

(6) f"(x) = 2 > 0, ∀x என்பதால் இந்த சார்பு மெய் எண்நேர்க்கோடு முழுமையிலும் மேல்நோக்கி குழிவு ஆகும். 

(7) f (x) = 2 ≠ 0, ∀x எனவே வளைவரைக்கு வளைவு மாற்றப் புள்ளிகள் இல்லை . 

(8) வளைவரைக்கு தொலைத் தொடுகோடுகள் இல்லை.

இவ்வளைவரையின் தோராய வரைபடம் வலது பக்கம் காட்டப்பட்டுள்ளது. 

எடுத்துக்காட்டு 7.70

y = f (x) = x3 - 6x - 9 என்ற வளைவரையை வரைக.

தீர்வு 

கொடுக்கப்பட்ட சார்பை காரணிப்படுத்த,

y = f (x) = (x - 3)(x2 + 3x + 3) ஆகும். 

(1) சார்பு f (x) -ன் சார்பகம் மற்றும் வீச்சகங்கள் முழு மெய் எண் நேர்க்கோடாகும்.

(2) y = 0 எனப் பிரதியிட x = 3 மற்ற இரண்டு மூலங்களும் கற்பனை.எனவே, x–வெட்டுத்துண்டு(3,0) ஆகும். x = 0 எனப்பிரதியிட y = -9 ஆகும். எனவே y-ன் வெட்டுத்துண்டு (0,-9) ஆகும். 

(3) f'(x) = 3(x2 - 2) மேலும் இதிலிருந்து நிலை எண்கள்  x= ±√2 ஆகும்.

(4) f"(x) = 6x. மேலும் x = √2-ல் f"(√2) = 6√2 > 0 எனவே x = -√2 -ல் வளைவரை இடஞ்சார்ந்த சிறும மதிப்பு f (√2) = -4√2 - 9 அடையும். இதுபோலவே x = -√2-ல் f’’ (-√2) =  -6√2 < 0. எனவே x = -√2-ல் வளைவரை இடஞ்சார்ந்த பெரும மதிப்பு f(-√2) = 4√2 – 9 -ஐஅடையும். 

(5) f" (x) = 6x > 0, ∀x > 0 என்பதால் வளைவரையானதுமிகை மெய் எண் நேர்க்கோட்டில் மேல்நோக்கி குழிவானது f"(x) = 6x < 0, ∀x < 0 என்பதால் வளைவரையானது கீழ்நோக்கி குழிவானது. 

(6) x = 0 -வில் f" (x) = 0 மற்றும் f"(x) -ன் குறி x = 0 –ஐ கடக்கும்போது மாறுகிறது. எனவே வளைவு மாற்றப் புள்ளி (0, f (0)) = (0,-9).

(7) இவ்வளைவரைக்கு தொலைத் தொடுகோடுகள் இல்லை, இவ்வளைவரையின் தோராய வரைபடம் வலது பக்கம் காட்டப்பட்டுள்ளது..

எடுத்துக்காட்டு 7.71

y = x2 - 3x / (x - 1) என்ற வளைவரையை வரைக. 

தீர்வு 

கொடுக்கப்பட்ட சார்பை காரணிப்படுத்த, y = f(x) = x( x - 3) / (x - 1) ஆகும்.

(1) f (x) என்ற சார்பின் சார்பகம் R\{1} மற்றும்வீச்சகம் முழு மெய் எண் நேர்க்கோடு ஆகும். , 

(2) y = 0 எனப் பிரதியிட x = 0,3. எனவே x-வெட்டுத்துண்டு (3,0). x = 0 எனப் பிரதியிட, y = 0. எனவே வளைவரை ஆதி வழியாகச்செல்லும். 

(3) f’(x) = x2- 2x +3 / (x-1)2  மேலும் இதிலிருந்து f'(1) காணத்தக்கதல்ல என்பதால் x = 1 -ல் நிலைப்புள்ளி உள்ளது. x2 - 2x + 3 = 0 - விற்கு மெய்தீர்வுகள் இல்லை . ஆகவே, x = 1 மட்டுமே நிலை எண் ஆகும். 

(4) x = 1 என்பது f (x) -ன் சார்பகத்தில் இல்லை . மேலும் f' (x) ≠ 0∀x ∈ R\{1} எனவே இதற்கு இடஞ்சார்ந்த பெருமமோ அல்லது இடஞ்சார்ந்த சிறுமமோ இல்லை.

(5) f"(x) = -4/(x-1)3 ∀x ∈ R\{1} எனவே x < 1 எனில் f"(x) > 0 ஆகவே (-∞,1)-ல் வளைவரை மேல்நோக்கி குழிவானது. மேலும் x > 1 எனில் f"(x) < 0 . ஆகவே (1,∞)-ல் வளைவரை கீழ்நோக்கி குழிவானது. x = 1 சார்பகத்தில் இல்லை மற்றும் f'(x) ≠ 0 ∀x ∈ R \{1} என்பதால் f'(x) - க்கு வளைவு மாற்றப் புள்ளிகள் இல்லை . 

(6) lim x→1− x2−3x / (x−1) = +∞ மற்றும் limx→1+ x2−3x / (x−1) = −∞ என்பதால், x = 1 என்பது நிலைக்குத்து தொலைத் தொடுகோடு ஆகும்.

வளைவரையின் தோராய வரைப்படம் வலப்பக்கம் காட்டப்பட்டுள்ளது. 

எடுத்துக்காட்டு 7.72

y = 3x / x2 – 1 என்ற வளைவரையை எழுதுக.

தீர்வு

(1) f (x) -ன் சார்பகம் ℝ\{-1,1} 

(2) f (-x,-y) = f (x,y) என்பதால் வளைவரை ஆதியை பொருத்து சமச்சீரானது. 

(3) y = 0 எனப் பிரதியிட x = 0 ஆகும். எனவே x -வெட்டுத்துண்டு (0,0) ஆகும். 

(4) x = 0 எனப் பிரதியிட, y = 0 ஆகும். எனவே y -வெட்டுத்துண்டு (0,0) ஆகும். 

(5) ஓரியல்புத் தன்மையை ஆராய, நாம் முதலாம் வகைக்கெழுவை காண்போம்.

f(x) = -3(x2+1) / (x2 -1)2

ஆகவே, x = -1,1-ல் f(x) காணத்தக்கது அல்ல. எனவே, x = -1,1 ஆகியவை நிலை எண்களாகும். ஓரியல்பு இடைவெளிகளை அட்டவணை 7.9-ல் அட்டவணைப்படுத்தப்பட்டு உள்ளது.

(6) நிலை எண்களின் வழியே செல்லும்போது f’ (x) -ன் குறியில் மாற்றம் இல்லை . எனவே, இடஞ்சார்ந்த அறுதிகள் இல்லை.

(7) குழிவுத் தன்மையை ஆராய நாம் இரண்டாம் வகைக்கெழுவினை காண வேண்டும்.

f"(x) = 6x (x2 + 3) / (x2 -1)3 . f’(x) = 0 ⇒ x = 0 மற்றும் f" (x) ஆனது x = -1,1-ல் காணத்தக்கதுஅல்ல

குழிவு இடைவெளிகள் அட்டவணை7.10-ல் அட்டவணைப் படுத்தப்பட்டுள்ளது.

(8) x = -1 மற்றும் 1 ஆகியவை f (x)-ன் சார்பகத்தில் இல்லை மற்றும் x = 0 -வில் இரண்டாம் வகைக்கெழு பூச்சியம் மற்றும் f" (x)-ன் குறி பூச்சியத்தின் வழியே செல்லும்போது மாறுகிறது. எனவே, வளைவு மாற்றப்புள்ளி (0, f (0)) = (0,0) ஆகும்.

எனவே x = -1 மற்றும் x = 1 ஆகியவை நிலைகுத்து தொலைத் தொடுகோடுகளாகும் வளைவரையின் தோராய படம் வலப்பக்கம் காட்டப்பட்டுள்ளது.