தொடுகோடு மற்றும் செங்கோட்டின் சமன்பாடுகள் (Equations of Tangent and Normal)

தொடுகோடு மற்றும் செங்கோட்டின் சமன்பாடுகள் (Equations of Tangent and Normal) 

லிபினிட்சை பொருத்தவரை, தொடுகோடு என்பது வளைவரையின் மீதுள்ள மிக நெருங்கிய ஒரு ஜோடிப் புள்ளிகள் வழியே செல்லும் நேர்க்கோடு ஆகும்.

வரையறை 7.1

ஒரு தளத்தில் உள்ள வளைவரைக்கு கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியில் தொடுகோடு என்பது வளைவரையில் அப்புள்ளியை தொட்டுக்கொண்டு செல்லும் ஒரு நேர்க்கோடு ஆகும்.

வரையறை 7.2

வளைவரை மீதுள்ள புள்ளியில் வளைவரைக்கு செங்கோடு என்பது அப்புள்ளியில் வரையப்பட்ட தொடுகோட்டிற்கு அப்புள்ளியில் செங்குத்தாக உள்ள நேர்க்கோடு ஆகும்.

ஒரு வளைவரைக்கு அதன் மீதுள்ள ஒரு புள்ளியில் தொடுகோடு மற்றும் செங்கோடு ஆகியவை எவ்வாறு அமையும் என்பது அருகில் உள்ள படம் 7.6 வாயிலாக விளக்கப்பட்டுள்ளது.

y = f (x) என்ற வளைவரையை கருதுக.

வளைவரையின் மீதுள்ள (a, b) என்ற புள்ளியில் தொடுகோட்டின் சமன்பாடு என்பது

y - b = (x - a) × (dy/dx)(a,b) அல்லது y -b = f'(a) (x-a) ஆகும்.

செங்கோடு என்பது அப்புள்ளியில் வரையப்பட்ட தொடுகோட்டிற்கு செங்குத்து. எனவே, (a,b) என்ற புள்ளியில் செங்கோட்டின் சாய்வானது, தொடுகோட்டின் சாய்வின் தலைகீழ் எதிர்குறி, அதாவது -(1/dy/dx)(a,b) மதிப்பாகும்.

ஆகவே, (a, b) என்ற புள்ளியில் செங்கோட்டின் சமன்பாடு,

(y-b) = -(1/dy/dx)(a,b) × (x-a) அல்லது (y-b) × (dy/dx)(a,b) =-(x-a) ஆகும்.

குறிப்புரை 

(i) வளைவரைக்கு ஒரு புள்ளியில் வரையப்படும் தொடுகோடு கிடைமட்டமாக இருந்தால், அப்புள்ளியில் வகைக்கெழு 0 ஆகும். ஆகவே (x1,y1) என்ற புள்ளியில் தொடுகோட்டின் சமன்பாடு y = y1 மற்றும் செங்கோட்டின் சமன்பாடு x = x1 ஆகும். 

(ii) வளைவரைக்கு ஒரு புள்ளியில் வரையப்படும் தொடுகோடு நிலைகுத்தாக இருந்தால், அப்புள்ளியில் வகைக்கெழு காணத்தக்கது மற்றும் முடிவிலி (∞) ஆகும். ஆகவே, (x1,y1) என்ற புள்ளியில் தொடுகோட்டின் சமன்பாடு x = x1 மற்றும் செங்கோட்டின் சமன்பாடு y = y1 ஆகும். 

எடுத்துக்காட்டு 7.11

y = x2 +3x - 2 என்ற வளைவரைக்கு (1,2) என்ற புள்ளியில் தொடுகோடு மற்றும் செங்கோட்டின் சமன்பாடுகளைக் காண்க. 

தீர்வு 

x-ஐப் பொறுத்து வகையிட ,dy/dx  = 2x + 3 ஆகவே,(dy/dx)(1,2) = 5 

எனவே, தேவையான தொடுகோட்டின் சமன்பாடு 

(y-2) = 5(x-1) ⇒5x – y-3 = 0 ஆகும். 

(1,2) என்ற புள்ளியில் செங்கோட்டின் சாய்வு - 1/5எனவே, தேவையான செங்கோட்டின் சமன்பாடு (y-2) = -1/5 (x-1) ⇒ x+5y-11= 0 ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 7.12

y = x3 - 3x2 + x - 2 என்ற வளைவரைக்கு, எந்தெந்த புள்ளிகளில் வரையப்படும் தொடுகோடு y = x என்ற கோட்டிற்கு இணையாக இருக்கும்?

தீர்வு

y = x என்ற நேர்க்கோட்டின் சாய்வு 1 ஆகும். கொடுக்கப்பட்ட வளைவரைக்கு வரையப்படும் தொடுகோடு, y = x என்ற கோட்டிற்கு இணையாக இருக்க வேண்டும் எனில் தொடுகோட்டின் சாய்வும் 1 என இருக்க வேண்டும். 

ஆகவே, dy/dx = 3x2 - 6x+1=1

⇒ 3x2 - 6x = 0.

ஆகவே, x = 0 மற்றும் x = 2 என்ற கோட்டிற்கு இணையாக இருக்கும். எனவே, (0, -2) மற்றும் (2, -4) என்ற புள்ளிகளில் வரையப்படும் தொடுகோடு y = x என்ற கோட்டிற்கு இணையாக இருக்கும். 

எடுத்துக்காட்டு 7.13

x = 2 cos 3t மற்றும் y = 3sin 2t, t ∈ R என்ற லிசஜோஸ் வளைவரையின் மீதுள்ள ஏதேனும் ஒரு புள்ளியில் தொடுகோடு மற்றும் செங்கோட்டின் சமன்பாடுகளைக் காண்க. 

தீர்வு

கொடுக்கப்பட்ட வளைவரையானது வட்டமோ அல்லது நீள்வட்டமோ அல்ல என்பதைக் கவனிக்க. உங்கள் பார்வைக்காக இந்த வளைவரை படம் 7.8-ல் காட்டப்பட்டுள்ளது.

இப்பொழுது, dy/dx = dy/dt/dx/dt

 = -6cos 2t / 6sin3t = -cos 2t / sin3t

எனவே, ஏதேனும் ஒரு புள்ளியில் தொடுகோட்டின் சமன்பாடு

y -3sin 2t = -cos 2t / sin 3t  (x - 2 cos 3t )

அதாவது, x cos 2t + y sin3t = 3sin 2t sin 3t + 2cos 2tcos 3t .

செங்கோட்டின் சாய்வு என்பது தொடுகோட்டுச் சாய்வின் எதிர்குறி தலைகீழ் மதிப்பு என்பதால் செங்கோட்டின் சாய்வு sin 3t / cos 2t

ஆகவே, செங்கோட்டின் சமன்பாடு y-3sin 2t = sin 3t/cos 2t (x - 2cos 3t).

அதாவது, x sin 3t - y cos 2t = 2sin 3t cos 3t - 3sin 2t cos 2t = sin 6t – 3/2 sin 4t