பயிற்சி 7.3 : சராசரி மதிப்புத் தேற்றம்

பயிற்சி 7.3

1. கொடுக்கப்பட்ட சார்புகளுக்கு கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளியில் ரோலின் தேற்றம் ஏன் பயன்படுத்த முடியாது என்பதை விளக்குக.

(i) f(x) =|1/x|, x∈ [-1,1] 

(ii) f (x) = tan x, x ∈[0,π]

(iii) f (x) = x - 2log x, x∈[2,7] 

தீர்வு :

2. ரோலின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி கீழ்க்காணும் சார்புகளுக்கு x-ன் எம்மதிப்புகளில் வரையப்படும் தொடுகோடு x -அச்சிற்கு இணையாக இருக்கும்? 

(i) f (x) = x2 - x, x∈  [0,1] 

(ii) f (x) = x2 - 2x / x + 2, x∈ = [-1,6] 

(iii) f(x) = √x – x/3, x∈ =[0,9]

தீர்வு :

3. கொடுக்கப்பட்ட சார்புகளுக்கு கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளியில் லெக்ராஞ்சியின் சராசரி மதிப்புத் தேற்றம் ஏன் பயன்படுத்த முடியாது என்பதை விளக்குக. 

(i) f(x) = x+1 / x, x∈  [-1,2]

(ii) f(x)=|3x+1|, x∈[-1,3] 

தீர்வு :

4. லெக்ராஞ்சியின் சராசரி மதிப்புத் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி கொடுக்கப்பட்ட சார்புகளுக்கு கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளியின் முனைப்புள்ளிகள் வழியே செல்லும் நாணுக்கு இணையாக ஒரு தொடுகோட்டின் தொடும் புள்ளியின் x -ன் மதிப்பைக் காண்க.

(i) f (x) = x3 - 3x+2, x ∈ [-2,2] 

(ii) f (x) = (x- 2)(x-7), x ∈ [3,11] 

தீர்வு :

5. (i) f (x) = 1/x என்ற சார்பிற்கு [a,b]-யை மிகை முழு எண்களாக கொண்ட மூடிய இடைவெளி [a,b]-ல் சராசரி மதிப்புத் தேற்றத்தின்படி இறுதி மதிப்பு√ab என நிறுவுக. 

(ii) f (x) = Ax2 + Bx + C என்ற சார்பிற்கு எந்த ஒரு மூடிய இடைவெளி [a,b]-ல் சராசரிமதிப்புத் தேற்றத்தின்படி இறுதி மதிப்பு a+b/2 என நிறுவுக.

தீர்வு :

6. ஒரு பந்தய மகிழுந்து ஓட்டுநர் 20-வது கிலோமீட்டர்கல்லில் இருக்கிறார். அவரது மகிழுந்தின் வேகம் 150 கி.மீ/மணி-யை எப்பொழுதும் தாண்டவில்லை எனில், அடுத்த இரண்டு மணிநேரத்தில் அவர் கடக்கும் அதிகபட்ச கி.மீ கல் என்ன? 

தீர்வு :

7. f (x) என்ற சார்பானது, f'(x) ≤ 1, 1 ≤  x ≤ 4 எனில், f (4) - f (1) ≤ 3 எனக்காட்டுக. 

தீர்வு :

8. f (x) என்ற வகையிடத்தக்க சார்பானது f (0) = -1, f (2) = 4 மற்றும் f'(x) ≤ 2 ∀ x என்றவாறு இருக்க முடியுமா? உனது பதிலுக்கு தகுந்த விளக்கம் தருக. 

தீர்வு :

9. f (x) = x(x+3)e π/2,-3 ≤ x ≤ 0 என்ற வளைவரைக்கு x -அச்சிற்கு இணையாக வரையப்படும் தொடுகோட்டின் தொடும் புள்ளியின் x - மதிப்புத் (-3, 0) என்ற இடைவெளியில் அமையும் எனநிறுவுக. 

தீர்வு :

10. சராசரி மதிப்புத் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி a > 0, b > 0, |e-a - e-b | < | a-b| என நிறுவுக. 

தீர்வு :