வகை நுண்கணிதம் | கணிதவியல் - சராசரி மதிப்புத் தேற்றம் (Mean Value Theorem) | 12th Maths : UNIT 7 : Applications of Differential Calculus
சராசரி மதிப்புத் தேற்றம் (Mean Value Theorem)
ஒரு வளைவரையின் நாணுக்கு இணையாக வரையப்படும் ஒரு தொடுகோட்டின் தொடும் புள்ளி, நாணின் முனைப்புள்ளிகளுக்கு இடையே அமையும் என்பதை சராசரி மதிப்புத் தேற்றம் உறுதி செய்கிறது. நாம் இப்பாடப்பகுதியை இடைநிலை மதிப்புத் தேற்றத்தின் வரையரையிலிருந்து தொடங்கலாம்.
தேற்றம் 7.1 (இடைநிலை மதிப்புத் தேற்றம்)
f (x) என்ற சார்பு மூடிய இடைவெளி [a,b]-ல் தொடர்ச்சியாக உள்ளது எனவும் f (a) மற்றும் f(b) -க்கு இடையில் ( f (a) மற்றும் f (b) உள்ளடங்கியது) c என்ற ஏதேனும் ஒரு எண் உள்ளது எனில், [a,b] என்ற மூடிய இடைவெளியில் குறைந்தபட்சம் x என்ற ஒரு எண்ணையாவது f (x) = c என்றவாறு காணலாம்.
ரோலின் தேற்றம் (Rolle's Theorem)
தேற்றம் 7.2 (ரோலின் தேற்றம்)
f(x) என்ற சார்பு மூடிய இடைவெளி [a,b]-ல் தொடர்ச்சியானதாகவும், திறந்த இடைவெளி (a,b)-ல் வகையிடத்தக்கதாகவும் இருக்கிறது மேலும் f (a) = f (b) எனில், குறைந்தபட்சம் ஒரு புள்ளி c E (a, b) ஆனது f'(c) = 0 என்றவாறு இருக்கும்.
x = a-யில் இருந்து x = b வரை ஒரு தொடுகோடானது வளைவரை மீது படம் 7.11-ல் உள்ளவாறு நகர்ந்தால் CE (a,b) என்ற எண்ணினை C-யில் வரையப்படும் தொடுகோடு x - அச்சிற்கு இணையாக உள்ளவாறு காணலாம்.
எடுத்துக்காட்டு 7.19
f (x) = x2 (1-x)2, x € [0,1] என்ற சார்பிற்கு ரோலின் தேற்றத்தை நிறைவு செய்யும் 'c'-ன் மதிப்பைக் கணக்கிடுக.
தீர்வு
f(x) என்பது மூடிய இடைவெளி [0,1] -ல் தொடர்ச்சியானதாகவும், திறந்த இடைவெளி (0,1)-ல் வகையிடத்தக்கதாகவும், மேலும் f (0) = 0 = f (1) ஆகவும் உள்ளது.
இப்பொழுது, f'(x) = 2x(1- x) (1-2x).
எனவே, f'(c) = 0 ⇒ c = 0,1, மற்றும் , 1/2
⇒ c =1/2 € (0,1)
எடுத்துக்காட்டு 7.20
f(x) = x +1/x, x€ [1/2,2] என்ற சார்பிற்கு (1/2,2) என்ற இடைவெளியில் ரோலின் தேற்றத்தை நிறைவுச் செய்யும் மதிப்பை காண்க.
தீர்வு
f (x) என்பது மூடிய இடைவெளி [1/2,2] ல் தொடர்ச்சியானதாகவும், திறந்த இடைவெளி(1/2,2) -ல் வகையிடத்தக்கதாகவும், மேலும் f(1/2)=5/2=f(2) ஆகவும் உள்ளது. எனவே ரோலின் தேற்றப்படி c €(1/2,2) என்ற எண்ணினை f’(c) = 0 எனுமாறு காணலாம்.
இப்பொழுது, f’ (c) = 1-1/c2 = 0 ⇒ c2 = 1 ⇒ c = ±1 1€(1/2,2), எனவே C =1 என தேர்ந்தெடுக்கலாம்.
எடுத்துக்காட்டு 7.21
f(x) = log (x2 + 6 / 5x)என்ற சார்பிற்கு [2,3] என்ற இடைவெளியில் ரோலின் தேற்றத்தைநிறைவு செய்யும் 'c' -ன் மதிப்பைக் கணக்கிடுக.
தீர்வு
f(x) என்ற சார்பு மூடிய இடைவெளி [2,3]-ல் தொடர்ச்சியானதாகவும், திறந்த இடைவெளி (2,3) -ல் வகையிடத்தக்கதாகவும், மற்றும் , f (2) = 0 = f (3) ஆகவும் உள்ளது.
இப்பொழுது, f'(x) = x2-6 / x(x2+6)
எனவே, f'(c) = 0
⇒ C2-6 / C(C2+6) = 0
⇒ c = ±√6
இப்பொழுது, c = +√6 € (2,3)
-√6 € (2,3) எனவே, c = +√6 ஆனது ரோலின் தேற்றத்தை நிறைவு செய்கிறது. ரோலின் தேற்றத்தினை ஒரு இயற்கணிதச் சமன்பாட்டிற்கு கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளியில் எத்தனை தீர்வுகள் இருக்கும் என்பதனை சமன்பாட்டைத்தீர்க்காமல் காணவும் பயன்படுத்தலாம்.
எடுத்துக்காட்டு 7.22
x4 + 2x3 -2 = 0 என்ற சமன்பாட்டைத் தீர்க்காமல் (0,1) என்ற இடைவெளியில் ஒரே ஒரு தீர்வுதான் இருக்கும் எனக்காட்டு.
தீர்வு
f (x) = x4 +2x3 -2 என்க. f (x) ஆனது [0,1] -ல் தொடர்ச்சியானதாகவும், (0,1)-ல் வகையிடத்தக்கதாகவும் உள்ளது.
இப்பொழுது f'(x) = 4x3 + 6x2 f'(x) = 0 எனில், 2x2 (2x+3) = 0.
எனவே, x = 0, 3/2 ஆனால் 0, 3/2 € (0,1).
ஆகவே, f'(x) > 0, ∀x€ = (0,1).
எனவே, ரோலின் தேற்றத்தின்படி a, b€ (0, 1) என்ற எண்களை f (a) = 0 = f (b) எனுமாறு காண இயலாது. ஆனால் f (0) =-2<0 மற்றும் f (1) =1> 0 என்பதில் இருந்து y = f (x) ஆவது இடைநிலை மதிப்பு தேற்றப்படி, 0 மற்றும் 1-க்கு இடையில் ஒரே ஒரு முறை x -அச்சை வெட்டும். எனவே, x4 +2x3 -2 = 0 என்ற சமன்பாட்டிற்கு (0,1) என்ற இடைவெளியில் ஒரே ஒரு தீர்வுதான் இருக்கும்.
ரோலின் தேற்றத்தின் பயன்பாடாக கீழ்க்கண்டதை நாம் பெறலாம்.
எடுத்துக்காட்டு 7.23
ரோலின் தேற்றப்படி anxn + an-1 xn-1 +….+a1x + a0 என்ற பல்லுறுப்புக் கோவையின் இரு வேறு மெய் பூச்சியமாக்கிகளுக்கு இடையில் nanxn-1 + (n-1) an-1 xn-2+---+a1 என்ற பல்லுறுப்புக் கோவையின் ஒரு பூச்சியமாக்கி அமையும் என நிறுவுக.
தீர்வு
P(x) = anxn + an-1 xn-1 +….+a1x + a0என்க. α < β என்பன P(x)-ன் பூச்சியமாக்கிகள் என்க. எனவே, P(α) = P(β) = 0 . P(x) ஆனது [α, β]-ல் தொடர்ச்சியாகவும், திறந்த இடைவெளி (a,β)-ல் வகையிடத்தக்கதாகவும் இருப்பதால் ரோலின் தேற்றப்படி ɤ ∈ (a,β)ஆனது P'(ɤ) = 0 எனுமாறு காணலாம்.
P'(x) = nαnxn-1 + (n-1)αn-1xn-2+…+α1 என்பதிலிருந்து தேற்றம் நிரூபணமாகிறது.
எடுத்துக்காட்டு 7.24
x4 - 6x3 -11x2 + 24x + 28 என்ற பல்லுறுப்புக் கோவையின் பூச்சியமாக்கிகள் 2 மற்றும் 7 எனில், 2x3 – 9x2 -11x +12 என்ற பல்லுறுப்புக் கோவையின் ஒரு பூச்சியம் (2,7) என்ற இடைவெளியில் அமையும் என நிறுவுக.
தீர்வு
P(x) = x4 - 6x3 -11x2 + 24x + 28 என்ற பல்லுறுப்புக் கோவைக்கு α = 2, β =7 எனக்கொண்டு எடுத்துக்காட்டு 7.23-ன் முடிவைப் பயன்படுத்த வேண்டும்.
இப்பொழுது, P’(x) / 2 = 2x3 - 9x2 -11x + 12 = Q(x), (என்க).
இதிலிருந்து Q(x) என்ற பல்லுறுப்புக் கோவையின் ஒரு பூச்சியம் (2,7) என்ற இடைவெளியில் அமையும் என நிறுவலாம்.
சரிபார்த்தல்,
Q(2) = 16 – 36 – 22 + 12 = 28-58 = -30 < 0
Q(7) = 686 – 441 – 77 + 12 = 698 – 518 = 180 > 0
இதிலிருந்து Q(x) என்ற பல்லுறுப்புக் கோவையின் ஒரு பூச்சியம் (2,7) என்ற இடைவெளியில் அமையும் என்கிறோம்.
குறிப்புரை
ரோலின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்த இயலாத சார்புகள்
(1) f (x) = |x|,x∈ [-1,1] என்ற சார்பு f (-1)=1= f (1) என இருந்த போதிலும் ரோலின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்த இயலாது. ஏன் எனில் x = 0 -வில் f (x) வகையிடத்தக்கதல்ல.
(2) f(x) = {1 x = 0 எனில் {x 0 < x ≤ 1 எனில் என்ற சார்பு f (0) = f (1) =1 என இருந்த போதிலும் ரோலின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்த இயலாது. ஏன் எனில் f (x) ஆனது x = 0-வில் தொடர்ச்சியானது இல்லை .
(3) f (x) = sin.x, x∈[0,π/2] என்ற சார்பு, மூடிய இடைவெளி [0,π/2]-ல் தொடர்ச்சியாகவும், திறந்த இடைவெளி [0,π/2]-ல் வகையிடத்தக்கதாக இருந்தாலும் 0 = f (0) ≠ f(π/2) =1 என்பதால் ரோலின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்த இயலாது.
f (x) ஆனது மூடிய இடைவெளி [a,b]-ல் தொடர்ச்சியானதாகவும், திறந்த இடைவெளி (a,b)-ல் வகையிடத்தக்கதாகவும் இருந்து f (a) ≠ f (b) என இருக்கும் நிலையிலும் ரோலின் தேற்றத்தை கீழ்க்கண்டவாறு பொதுமைப்படுத்தலாம்.
லெக்ராஞ்சியின் சராசரி மதிப்புத் தேற்றம் (Lagrange's Mean Value Theorem)
தேற்றம் 7.3
f (x) ஆனது மூடிய இடைவெளி [a,b]-ல் தொடர்ச்சியானதாகவும், திறந்த இடைவெளி (a,b)-ல் வகையிடத்தக்கதாகவும் (f(a), f (b)) ஆகியவை சமமாக இருக்க வேண்டிய அவசியம் இல்லை). உள்ளது என்க. அப்போது குறைந்தபட்சம் ஒரு புள்ளி C ∈ (a,b)-யினை
f'(c) = f(b) – f(a) / b-a .... (6)
எனுமாறு காணலாம்.
குறிப்புரை
f(a) = f(b) எனில் லெக்ராஞ்சியின் சராசரி மதிப்புத் தேற்றம் ரோலின் தேற்றத்தைத் தரும். லெக்ராஞ்சியின் சராசரி மதிப்புத் தேற்றத்தினை சுழன்ற ரோலின் தேற்றம் என்கிறோம்.
குறிப்புரை
இத்தேற்றத்தின் உள்ளார்ந்த விளக்கமானது (a,b) என்ற இடைவெளியில் f(x)-ன் சராசரி மாறுவீதத்தை f(b) – f(a)/b-a யும் மற்றும் C-யில் கணநேர மாறுவீதத்தை 'f'(c)யும்குறிக்கிறது.
லெக்ராஞ்சியின் இடைமதிப்புத் தேற்றத்தின் வடிவக் கணித விளக்கமானது ஒரு இடைவெளியில் சராசரி மாறுபாட்டு வீதமானது, அந்த இடைவெளியின் உள்ளிருக்கும் ஒரு புள்ளியில் கணநேர மாறுவீதத்திற்குச் சமமாக இருக்கும். இதனை கீழ்க்கண்ட எடுத்துக்காட்டின் மூலம் உணரலாம்.
ஒரு மகிழுந்தானது 200 மீ தூரத்தை 8 வினாடி காலத்தில் கடக்கிறது எனில் இதன் சராசரி திசைவேகம் 200/8 = 25 மீ/வி ஆகும். இந்த 8 வினாடி கால இடைவெளியினுள் ஏதேனும் ஒரு நேரத்தில் மகிழுந்தின் வேகம் காட்டும் கருவி சரியாக 25 மீ/வி அதாவது 90 கி.மீ/மணியினைக் காட்டும் என்பதை சராசரி மதிப்புத் தேற்றம் உறுதி செய்கின்றது.
தேற்றம் 7.4
f(x) என்ற சார்பானது மூடிய இடைவெளி [a,b]-ல் தொடர்ச்சியானதாகவும், திறந்த இடைவெளி (a,b)-ல் வகையிடத்தக்கதாகவும் மற்றும் f'(x) > 0, ∀x ∈ (a,b) ஆகவும் இருந்தால், x1 , x2, ∈[a,b] -க்கு, x1< x2, எனில் f (x1) < f (x2) ஆகும்.