சார்ந்த வீதங்கள் (Related rates)

சார்ந்த வீதங்கள் (Related rates)

சார்ந்த வீதக் கணக்குகளில் குறைந்தது இரண்டு அளவுகளாவது மாறத்தக்கதாக அமையும். மேலும் தேவையான அனைத்து அளவைகளும் கொடுக்கப்பட்ட நிலையில் ஏதேனும் ஒன்றின் மாறுபாட்டு வீதத்தினை நாம் கணக்கிட வேண்டும். எடுத்துக்காட்டாக, இரு வேறு திசையில் பயணிக்கும் இரு வாகனங்கள் விலகிப் போகும் வேகத்தினை அவற்றின் நிலை, திசைவேகங்கள் அறிந்திருந்தால் கணக்கிடலாம். 

எடுத்துக்காட்டு 7.7

கோள வடிவில் உள்ள ஒரு ஊதுபையில் காற்றினை வினாடிக்கு 1000 செமீ3 எனும் வீதத்தில் நாம் ஊதினால் ஆரம் 7 செமீ எனும்போது ஊதுபையின் ஆரத்தின் மாறுபாட்டு வீதம் என்ன? மேலும் மேற்பரப்பு மாறுபாட்டு வீதத்தையும் கணக்கிடுக. 

தீர்வு

r ஆரமுள்ள ஊதுபையின் கன அளவானது V = 4/3 πr3 ஆகும்.

dV/dt =1000 எனக்கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

dr/dt -யினை r =7 எனும்போது காணவேண்டும்.

dV/dt = 3 × 4/3 πr2  × dr/dt

r =7 மற்றும் dV/dt = 1000 எனப்பிரதியிட, 1000 = 4π × 49 × dr/dt

ஆகையால், dr/dt = 1000 / 4 × 49 × π = 250/49π

ஊதுபையின் மேற்பரப்பு S = 4πr2. எனவே, dS/dt = 8 π ×  r × dr/dt

dr/dt = 250/49 π மற்றும் r = 7 எனப் பிரதியிட, 

dS/dt = 8 π × 7 × 250/49 π = 2000 /7 எனப் பெறுகிறோம்.

எனவே, ஆரத்தின் மாறுபாட்டு வீதம் 250/49π செமீ/வினாடி வீதம் மற்றும் பரப்பளவின் மாறுபாட்டுவீதம் 2000 /7  செமீ2 / வினாடி ஆகும். 

எடுத்துக்காட்டு 7.8

ஒரு பொருளின் விலை அதன் சரக்கு இருப்பைக் கொண்டு Px+3P-16× = 234 எனும் சமன்பாட்டால் குறிக்கப்படுகிறது. இங்கு P என்பது பொருளின் விலை (ரூபாயில்) மற்றும் x என்பது அலகுகளின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கும். 90 அலகுகள் இருப்பு இருக்கும்போது, வாரத்திற்கு 15 அலகுகள் வீதம் சரக்கு அதிகரிக்கிறது எனில் காலத்தைப் பொறுத்து விலையின் மாறுபாட்டு வீதத்தைக் காண்க. 

தீர்வு

P = 234+16x / x+3

எனவே. dP/dt = - 186 / (x+3)2 × dx/dt

x = 90, dx/dt =15 எனப் பிரதியிட, dp/dt =186/932 × 15 = -10/31 ≈ -0.32 ரூபாய் வாரம் எனக்கிடைக்கிறது.  

அதாவது விலையில் மாற்றம் உண்மையில் வாரத்திற்கு 0.32 ரூபாய் எனும் வீதத்தில் குறைகிறது.

எடுத்துக்காட்டு 7.9

கொணரிப்பட்டையிலிருந்து நிமிடத்திற்கு 30 கன மீட்டர் வீதத்தில் கொட்டப்படும் உப்பு வட்ட வடிவ அடிமானம் கொண்ட கூம்பு வடிவம் பெறுகிறது. மேலும் கூம்பின் உயரமும் அடிமானத்தின் விட்டமும் சமமாக உள்ளது. 10 மீட்டர் உயரம் எனும்போது கூம்பின் உயரம் எவ்வேகத்தில் அதிகரிக்கும்? 

தீர்வு

h மற்றும் r முறையே உயரம் மற்றும் அடிமானத்தின் ஆரம் என்க. எனவே h = 2r ஆகும். V என்பது உப்பு கூம்பின் கன அளவு என்க.

V=1/3 πr2 h=1/12 πh3 ; dV/dt = 30 மீ3/ நிமிடம்

எனவே,dV/dt = 1/4 πh2 dh/dt

ஆகையால், dh/dt = 4 dV/dt .1/ πh2

அதாவது, dh/dt = 4 × 30 × 1/100π

= 6/5π மீ/ நிமிடம்.

எடுத்துக்காட்டு 7.10 (இருமாறி சார்ந்த வீதக் கணக்கு)

வடக்கிலிருந்து தெற்கே செல்லும் பாதையும் கிழக்கிலிருந்து மேற்கே செல்லும் பாதையும் P எனும் புள்ளியில் வெட்டுகிறது. வடக்கு நோக்கிச் செல்லும் மகிழுந்து A முதல் பாதை வழியாகச் செல்கிறது. கிழக்கு நோக்கிச் செல்லும் மகிழுந்து B இரண்டாவது பாதை வழியாகச் செல்கிறது. குறிப்பிட்ட நேரத்தில் மகிழுந்து A ஆனது P-க்கு வடக்கே 10 கிலோமீட்டர்கள் தொலைவில் மணிக்கு 80 கி.மீ வேகத்தில் செல்கிறது. அதே சமயத்தில் மகிழுந்து B ஆனது P-க்கு கிழக்கே 15 கிலோமீட்டர் தொலைவில் மணிக்கு 100 கி.மீ வேகத்தில் செல்கிறது. இரு மகிழுந்துகளுக்கிடையே உள்ள தூரம் எவ்வேகத்தில் மாறுகிறது? 

தீர்வு 

t நேரத்தில் P -க்கு வடக்கில் மகிழுந்து A இருக்கும் தூரத்தின்அளவு a(t) என்க. மற்றும் t நேரத்தில் P -க்கு கிழக்கில் மகிழுந்து B இருக்கும் தூரத்தின் அளவு b(t) என்க. மேலும் t நேரத்தில் மகிழுந்துA மற்றும் மகிழுந்து B -க்கு இடையே உள்ள தூரத்தின் அளவு c(t)  என்க. பிதாகரஸ் தேற்றத்தின்படி, c(t)2 = a(t)2 + b(t) 2 ஆகும்.

வகையிட, 2c(t)c'(t) = 2a(t)a'(t) + 2b(t)b'(t) எனப் பெறுகிறோம்.

எனவே, c' = aa'+ bb' / c = aa' + bb' / √a2 + b2

தேவையான தருணத்தில் நமக்கு தெரிந்த மதிப்புகளைப் பிரதியிட,

C’ = (10×80) + (15×100) / √102 + 152 = 460/√13 ≈ 127.6 கி.மீ/மணி ஆகும்