வட்டச் சமன்பாட்டின் திட்டவடிவம் (Equation of a circle in standard form)

1. வட்டச் சமன்பாட்டின் திட்டவடிவம் (Equation of a circle in standard form)

(i) மையம் (0, 0) மற்றும் ஆரம் r உடைய வட்டத்தின் சமன்பாடு

மையம் C(0,0), ஆரம் r மற்றும் P(x,y) ஒரு நகரும் புள்ளி என்க.

P என்ற புள்ளியின் ஆயத்தொலைகள் (x,y) என்பது P(x,y) என குறிக்கப்படுவதைக் கவனிக்க.

CP = r மற்றும் CP2 = r2

(x − 0)2 + (y − 0)2 = r2

x2 + y2 = r2

இது மையம் (0,0), ஆரம் r உடைய வட்டத்தின் சமன்பாடாகும்.

(ii) மையம் (h, k) மற்றும் ஆரம் r உடைய வட்டத்தின் சமன்பாடு

மையம் C(h,k), ஆரம் r மற்றும் நகரும் புள்ளி P(x,y) என்க.

தற்போது CP = r எனவே CP2 = r2, அதாவது (x − h)2 + (y − k)2 = r2. இது வட்டத்தின் திட்டவடிவச் சமன்பாடு ஆகும். இது மைய−ஆர வடிவம் எனவும் அழைக்கப்படும்.

மேற்கண்ட சமன்பாட்டை விரிவுபடுத்த

x2 + y2 − 2hx − 2ky + h2 + k2 − r2 = 0 எனக்கிடைக்கின்றது.

இங்கு 2g = −2h, 2f = −2k, c = h2 + k2 − r2 எனக்கொண்டால் சமன்பாடு

x2 + y2 + 2gx + 2fy + c = 0 என்ற வடிவத்தைப் பெறும். இது வட்டத்தின் பொது வடிவம் எனப்படும்.

சமன்பாடு x2 + y2 + 2gx + 2fy + c = 0 என்பது பின்வரும் பண்புகளைக் கொண்ட x, y என்ற மாறிகளில் அமைந்த இருபடிச் சமன்பாடு ஆகும்.

(i) இது x, y இல் அமைந்த இருபடிச் சமன்பாடு

(ii) x2 −ன் கெழு = y2 −ன் கெழு ≠ 0,

(iii) xy −ன் கெழு = 0 .

மறுதலையாக மேற்கண்ட பண்புகள் உடைய ஒரு சமன்பாடு வட்டத்தைக் குறிக்கும் என நிறுவலாம். ax2 + ay2 + 2g'x + 2f’y + c = 0 எனில்,   ………….(1)

இது x, y −ல் அமைந்த, பண்புகள் (i), (ii) மற்றும் (iii) உடைய இருபடிச்சமன்பாடு, மேலும் a ≠ 0. a−ஆல் (1)ஐ வகுக்க

x2 + y2 + (2g'/a)x + (2f’ /a) y + c’/a = 0  என கிடைக்கும்.  …………(2)

g’/a = g , f ’/a = f , c’/a = c என எடுத்துக்கொண்டால் சமன்பாடு (2) x2 + y2 + 2gx + 2fy + c = 0  என மாறும்.

g2 மற்றும் f 2 −ஐ கூட்டி, கழிக்க பின்வரும் சமன்பாடு கிடைக்கும்.

x2 +2gx + g2 + y2 + 2 fy + ƒ2 − g2 − ƒ2 + c = 0

(x + g) 2 + (y + f)2 = g2 + f 2 − c

(x − (−g))2 + (y− (−ƒ))2 = (√[g2 + ƒ2 – c])2

இது திட்ட வடிவில் உள்ளதால் வட்டத்தின் மையம் (−g,−f) மற்றும் ஆரம் r =√[g2 + ƒ2 – c] ஆகும். எனவே சமன்பாடு (1), (−g,−f) = (−g′/a , −f ′/a) −ஐ மையமாகவும்

ஆரம்  = √[g2 + ƒ2 – c] = 1/a √[g’2 + ƒ’2 – c'a] உள்ள ஒரு வட்டத்தைக் குறிக்கும்.

குறிப்புரை

மையம் (−g, −f) மற்றும் ஆரம் √[g2 + ƒ2 – c] உடைய x2 + y2 + 2gx + 2fy + c = 0 என்ற சமன்பாடு

(i) g2 + f 2 −c > 0 எனில் மெய்வட்டத்தைக் குறிக்கும்;

(ii) g2 + f 2− c = 0 எனில் ஒரு புள்ளி வட்டத்தைக் குறிக்கும் ; 

(iii) மற்றும் g2 + f 2 – c < 0 எனில் நியமப்பாதையற்ற ஒரு கற்பனை வட்டத்தைக் குறிக்கும். 

எடுத்துக்காட்டு 5.1

மையம் (−3, −4) மற்றும் ஆரம் 3 அலகுகள் கொண்ட வட்டத்தின் பொதுவடிவச் சமன்பாடு காண்க. 

தீர்வு

வட்டத்தின் திட்ட வடிவச் சமன்பாடு (x − h)2 + (y − k)2 = r2

⇒ (x − (−3))2 + (y − (−4))2 = 32

⇒ (x + 3) 2 + (y + 4)2 = 32

⇒ x2 + y2 + 6x + 8y +16 = 0 இது பொது வடிவம் ஆகும்.

தேற்றம் 5.1

lx + my + n = 0 என்ற நேர்கோடும் x2 + y2 + 2gx + 2fy + c = 0 என்ற வட்டமும் வெட்டிக்கொள்ளும் புள்ளிகள் வழியே செல்லும் வட்டத்தின் சமன்பாடு

x2 + y2 + 2gx + 2fy + c + λ(lx + my + n) = 0, λ ∈ ℝ1 என்ற வடிவில் இருக்கும்.

நிரூபணம்

வட்டம் S: x2 + y2 + 2gx + 2fy + c = 0,       ………………(1)          

மற்றும் நேர்கோடு L : lx + my + n = 0 என்க. ……………..(2)

S + λL= 0 −ஐ கருத்தில் கொள்க.

அதாவது x2 + y2 + 2gx + 2fy + c + λ(lx + my + n) = 0 −ன் x, y உறுப்புகள் மற்றும் மாறிலிகளை ஒன்று சேர்க்கக் கிடைப்பது   ………………(3)

x2 + y2 + x(2g + λl) + y(2f + λm) + c + λn = 0 இது x, y −இல் அமைந்த இருபடிச் மேலும் இங்கு xy உறுப்பு இல்லை, மற்றும் x2, y2 கெழுக்கள் சமமாக உள்ளதால் S + λL = 0 என்பது ஒரு வட்டத்தைக் குறிக்கும். (α, β) என்ற புள்ளி S மற்றும் L−இன் வெட்டும் புள்ளியானால் சமன்பாடுகள் (1) மற்றும் (2)−ஐ நிறைவு செய்கின்றன. எனவே இது சமன்பாடு (3)−ஐயும் நிறைவு செய்கிறது. எனவே S + λL = 0 என்பது தேவையான வட்டத்தின் சமன்பாடு ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 5.2

x2 + y2 =16 என்ற வட்டத்தின் நாண் 3x + y + 5 = 0−ஐ விட்டமாகக் கொண்ட வட்டத்தின் சமன்பாடு காண்க.

தீர்வு

தேற்றம் 5.1−ன் படி x2 + y2 =16 என்ற வட்டமும் 3x + y + 5 = 0 என்ற நேர்கோடும் வெட்டும் புள்ளிவழிச் செல்லும் வட்டத்தின் சமன்பாடு x2 + y2 – 16 + λ(3x + y + 5) = 0. இந்த வட்டத்தின் மையம் (−3λ/2 , −λ/2) . இது 3x + y + 5 = 0 என்ற கோட்டின் மீதுள்ளதால்

3(−3λ/2) − λ/2 + 5 = 0,

⇒  −9λ/2 − λ/2 + 5 = 0,

⇒  −5λ + 5 = 0,

⇒  λ = 1.

எனவே, தேவையான வட்டத்தின் சமன்பாடு x2 + y2 + 3x + y – 11 = 0. 

எடுத்துக்காட்டு 5.3

x2 + y2 − 6x + 4y + c = 0 என்ற வட்டத்திற்கு c−ன் எல்லா மதிப்புகளுக்கும் x + y – 1 = 0 என்ற நேர்க்கோடு விட்டமாக அமையுமா எனத் தீர்மானிக்க.

தீர்வு

கொடுக்கப்பட்ட வட்டத்தின் மையம் (3,−2). இது x + y – 1 = 0 −ல் உள்ளது. எனவே x + y – 1 = 0 என்ற கோடு c −இன் எல்லா மதிப்பிற்கும் வட்டத்தின் மையம் வழிச்செல்லும் ஆதலால் x + y − 1 = 0 என்ற கோடு c−இன் எல்லா மதிப்பிற்கும் வட்டத்தின் விட்டமாக அமையும்.

தேற்றம் 5.2

ஒரு வட்டத்தின் விட்டத்தின் முனைப்புள்ளிகள் (x1, y1) மற்றும் (x2, y2) எனில் அந்த வட்டத்தின் சமன்பாடு (x − x1)(x – x2) + (y − y1)(y – y2) = 0 ஆகும்.

நிரூபணம்

AB என்ற விட்டத்தின் முனைப்புள்ளிகள் A(x1, y1), B(x2, y2) என்க. மேலும் P(x, y) வட்டத்தின் மீதுள்ள ஏதேனும் ஒரு புள்ளி என்க. அப்பொழுது ∠APB = π/2 (அரைவட்டத்தில் தாங்கும் கோணம்) எனவே AP, PB என்பவற்றின் சாய்வுகளின் பெருக்கல் −1.

இதிலிருந்து வட்டத்தின் சமன்பாடு

(x − x1)(x – x2) + (y − y1)(y – y2) = 0 எனக் கிடைக்கின்றது.

எடுத்துக்காட்டு 5.4

(−4, −2) மற்றும் (1, 1) என்ற புள்ளிகளை விட்டத்தின் முனைகளாகக் கொண்ட வட்டத்தின் பொதுச் சமன்பாடு காண்க.

தீர்வு

தேற்றம் 5.2 −ன் படி (x1, y1) மற்றும் (x2, y2) என்ற புள்ளிகளை விட்டத்தின் முனைகளாகக் கொண்ட வட்டத்தின் சமன்பாடு (x − x1)(x – x2) + (y − y1)(y – y2) = 0

⇒ (x + 4)(x − 1) + (y + 2)(y − 1) = 0 

எனவே தேவையான வட்டத்தின் சமன்பாடு x2 + y2 + 3x + y − 6 = 0.

தேற்றம் 5.3

x2 + y 2 + 2gx + 2fy + c = 0 என்ற வட்டத்தைப் பொறுத்து P(x1, y1) என்ற புள்ளியின் நிலை, x12 + y1 2 + 2gx1 + 2fy1 + c  ன் மதிப்பு −க்கு தகுந்தாற்போல் முறையே வட்டத்தின் வெளியே, வட்டத்தின் மேல் அல்லது வட்டத்தின் உள் அமையும்.

நிரூபணம்

x 2 + y 2 + 2gx + 2fy + c = 0 என்ற வட்டத்தின் மையம் C (−g,−f)

ஆரம் r =√[g2 + ƒ2 – c]

P(x1, y1) என்ற புள்ளி வட்டம் உள்ள தளத்தில் உள்ளது என்க.

CP −ஐ இணைத்து அது வட்டத்தை வெட்டும் புள்ளி Q என்க.

என்ற நிலைக்கு ஏற்ப முறையே வட்டத்திற்கு வெளியே வட்டத்தின் மீது அல்லது வட்டத்தின் உள்ளே அமையும்.

ஏற்ப புள்ளி P(x1, y1) வட்டத்திற்கு வெளியே வட்டத்தின் மீது அல்லது வட்டத்தின் உள்ளே அமையும்.

எடுத்துக்காட்டு 5.5

x2 + y2 − 6x − 8y + 12 = 0 என்ற வட்டத்தைப் பொறுத்து (2,3) என்ற புள்ளியின் நிலையை ஆராய்க.

தீர்வு

x12 + y12 + 2gx1 + 2fy1 + c  = 22 + 32 – (6 × 2) – (8 × 3) + 12,

= 4 + 9 – 12 – 24 + 12 = −11 < 0.

எனவே புள்ளி (2,3) தேற்றம் 5.3−ன் படி வட்டத்திற்கு உள்ளே அமையும்.

எடுத்துக்காட்டு 5.6

3x + 4y − 12 = 0 என்ற நேர்க்கோடு ஆய அச்சுகளை A மற்றும் B என்ற புள்ளிகளில் சந்திக்கின்றது. கோட்டுத்துண்டு AB −ஐ விட்டமாகக் கொண்ட வட்டத்தின் சமன்பாடு காண்க.

தீர்வு

நேர்க்கோடு 3x + 4y = 12 −ஐ வெட்டுத்துண்டு வடிவில் எழுத x/4 + y/3 = 1 எனக் கிடைக்கும். எனவே புள்ளிகள் A மற்றும் B முறையே (4, 0) மற்றும் (0, 3).

வட்டத்தின் சமன்பாடு விட்ட வடிவம்

(x − x1)(x – x2) + (y − y1)(y – y2) = 0

(x − 4) (x − 0) + (y − 0)(y − 3) = 0

x2 + y2 − 4x − 3y = 0.

எடுத்துக்காட்டு 5.7

ஒரு நேர்க்கோடு 3x + 4y + 10 = 0, மையம் (2,1) உள்ள ஒரு வட்டத்தில் 6 அலகுகள் நீளமுள்ள ஒரு நாணை வெட்டுகின்றது. அந்த வட்டத்தின் பொதுச் சமன்பாடு காண்க.

தீர்வு

மையம் (2, 1) உடைய வட்டத்தில் 3x + 4y + 10 = 0 என்ற நேர்க்கோடு AB என்ற நாணை வெட்டுகின்றது. AB −ன் மையப்புள்ளி M என்க.

AM = BM = 3. BMC ஒரு செங்கோண முக்கோணம்

CM = |3(2) + 4(1) + 10| / √[32 + 42] = 4.

பிதாகரஸ் தேற்றப்படி BC2  = BM2 + MC2 = 32 + 42 = 25 .

BC = 5 = ஆரம்

தேவையான வட்டத்தின் சமன்பாடு (x − 2)2 + (y − 1)2 = 52 

அதாவது x2 + y2 − 4x − 2y − 20 = 0 .

எடுத்துக்காட்டு 5.8

ஆரம் 3 அலகுகள் கொண்ட ஒரு வட்டம் ஆய அச்சுகளைத் தொட்டுச் செல்கின்றவாறு உருவாகும் அனைத்து வட்டங்களின் பொதுச் சமன்பாடுகளையும் காண்க.

தீர்வு

வட்டம் இரு அச்சுகளையும் தொட்டுச் செல்வதால் அச்சுகளிலிருந்து வட்டத்தின் மையத்திற்கு உள்ள தூரம் 3 அலகுகள். எனவே மையம் (±3, ±3) ஆக இருக்கும். அதனால் ஆரம் 3 உடைய நான்கு வட்டங்களின் சமன்பாடுகள் x2 + y2 ± 6x ± 6y + 9 = 0 ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 5.9

ஒரு வட்டத்தின் சமன்பாடு 3x2 + (a + 1)y2 + 6x − 9y + a + 4 = 0 எனில் அதன் மையம், ஆரம் காண்க.

தீர்வு

x2 −ன் கெழு = y2 −ன் கெழு (இருபடிச் சமன்பாட்டின் பண்பு (ii)−ன் படி)

ஆதலால் 3 = a + 1, a = 2 எனக் கிடைக்கின்றது. எனவே வட்டத்தின் சமன்பாடு

3x2 + 3y2 + 6x − 9y + 6 = 0

x2 + y2 + 2x − 3y + 2 = 0

மையம் (−1, 3/2) மற்றும் ஆரம் r = √[ 1+ 9/4 – 2] = √5/2 .

எடுத்துக்காட்டு 5.10

(1, 1), (2, −1), மற்றும் (3, 2) என்ற மூன்று புள்ளிகள் வழிச்செல்லும் வட்டத்தின் சமன்பாடு காண்க.

தீர்வு

வட்டத்தின் பொதுச் சமன்பாடு x2 + y2 + 2gx + 2fy + c = 0   …..(1)

இது (1, 1), (2, −1) மற்றும் (3, 2) என்ற புள்ளிகள் வழிச்செல்வதால்

2g + 2f + c = −2,                    …….(2)

4g − 2f + c = −5,                     …….(3)

6g + 4f + c = −13.                   …….(4)

(2) − (3) −இலிருந்து −2g + 4f = 3.            …..... (5)

(4) − (3) −இலிருந்து  2g + 6f = −8.          …….(6)

(5) + (6) −இலிருந்து f = −1/2 என கிடைக்கும் மதிப்பை (6)இல் பிரதியிட g = −5/2, f, g இன் மதிப்புகளை (2)இல் பிரதியிட c = 4 எனவும் கிடைக்கிறது.

எனவே தேவையான வட்டத்தின் சமன்பாடு

x2 + y2 + 2(−5/2)x + 2(−1/2)y + 4 = 0

அதாவது x2 + y2 − 5x – y + 4 = 0.