கன முற்றொருமைகள்

கன முற்றொருமைகள் 

I. (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3

இந்தக் கன முற்றொருமையை நேரடிப் பெருக்கல் மூலம் சரிபார்க்கலாம்,

இங்கு , இடது பக்கம் = (a +  b)3

= [ (a +  b) (a +  b) ] (a +  b) (விரிவாக்க நிலை)

= (a +  b) 2 (a +  b) 

= (a2 + 2ab + b2 ) (a +  b) (முற்றொமையைப் பயன்படுத்துக)

= a (a2 + 2ab + b2 ) + b (a2 + 2ab + b2 ) (பங்கீட்டு வீதியைப் பயன்படுத்துக)

= a3 + 2a2b + ab2 + ba2  + 2ab2 + b3

= a3 + (2a2b + ba2) + (ab2  + 2ab2)  + b3 (ஒத்த உறுப்புகளைச் சேர்க்க)

= a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3

= வலது பக்கம்

(a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3

இங்கு , நேரடிப் பெருக்கல் மூலம் கன முற்றொருமையை சரி பார்த்தோம்.

மாற்று முறை 

= a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3

செயல்பாடு

(a + b)3 இன் வடிவியல் நிரூபணத்தை உன்னுடைய ஆசிரியர் துணையுடன் செய்து காணலாம்.

II.  (a – b)3 =  a3 – 3a2 b + 3ab2 – b3

இந்தக் கன முற்றொருமையை நேரடிப் பெருக்கல் மூலம் சரிபார்க்கலாம். 

இடது பக்கம் (a – b)3 = (a – b) (a – b) (a – b)

= (a – b)2 × (a – b) 

= (a2 – 2ab + b2 ) (a –  b) 

= a (a2 – 2ab + b2 ) – b (a2 – 2ab + b2 ) 

= a3 – 2a2b + ab2 – ba2  + 2ab2 – b3

= a3 – 2a2b – ba2  + ab2  + 2ab2  – b3 

= a3 – 3a2 b + 3ab2 – b3

= வலது பக்கம்

(a – b)3 = a3 – 3a2 b + 3ab2 – b3

இங்கு, நேரடிப் பெருக்கல் மூலம் கன முற்றொருமையை சரி பார்த்தோம்.

a2 b = ba2 

பெருக்கல் செயல் பரிமாற்றுப் பண்பை நிறைவு செய்யும்.

மாற்று முறை 

= a3 – 3a2 b + 3ab2 – b3

III.  (x + a) (x + b) (x + c) = x3 + (a + b + c) x2 + (ab + bc + ca) x + abc

(x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab என்ற முற்றொருமையை நமக்குத் தெரியும். அதனுடன் (x + c) என்ற ஈருறுப்புக் கோவையைப் பெருக்க நமக்குக் கிடைப்பது. 

(x + a) (x + b) (x + c) = [(x +a) (x + b)] (x + c)

= (x2 + (a + b) x + ab) × (x + c)

= x [x2 + (a + b) x + ab] +  c [x2 + (a + b) x + ab]  (பங்கீட்டு விதி) 

= x3 + (a + b)x2 + abx + cx2 + (a + b) xc + abc

= x3 + ax2 + bx2 + abx + cx2 + acx + bcx + abc

= x3 + (a + b + c) x2 + (ab + bc + ca) x + abc      (x2, x உறுப்புக்களைச் சேர்க்க) 

(x +a) (x + b) (x + c) = x3 + (a + b + c)x2 + (ab + bc + ca)x + abc

இவ்வாறு கன முற்றொருமைகளைத் தொகுக்கலாம்.

• (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3

• (a – b)3 =  a3 – 3a2 b + 3ab2 – b3

• (x + a) (x + b) (x + c) = x3 + (a + b + c) x2 + (ab + bc + ca) x + abc

மாற்று வடிவங்கள்

மேற்கண்ட முற்றொருமையின் மாற்று வடிவங்களை பின்வருமாறுப் பெறலாம்.

(i) ( a + b)3 = a3 + b3 + 3ab (a + b) 

(ii) a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) 

(iii) (a – b) 3 = a3 – b3 – 3ab (a – b) 

(iv) a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2 ) 

எவ்வாறு? முயன்று பார்.