இயற்கணிதம்

இயல் 3

இயற்கணிதம்

கற்றல் நோக்கங்கள்

• கோவைகளின் கூட்டல் மற்றும் கழித்தல் செயல்பாடுகளை நினைவு கூர்தல்.

• ஓர் இயற்கணிதக் கோவையுடன் முழு எண் கெழுக்களைப் பெருக்குவது பற்றித் தெரிந்துகொள்ளுதல்.

• இயற்கணிதக் கோவைகளை ஓருறுப்புக் கோவையால் வகுப்பது பற்றித் தெரிந்துகொள்ளுதல். 

•   (a + b)2 ,  (a – b)2  , (a2 – b2 ) மற்றும்  (x + a)   (x + b)  ஆகிய முற்றொருமைகளை நினைவு கூர்தல். மேலும், அவற்றைக் கணக்குகளில் பயன்படுத்துதல். 

•  (a + b)3  ,  (a – b)3  , (x + a)  (x + b)  (x + c) ஆகிய முற்றொருமைகளைப் புரிந்துகொண்டு, அவற்றைக் கணக்குகளில் பயன்படுத்துதல். 

• (a + b)3 மற்றும் (a – b)3 என்ற வடிவத்தில் அமைந்த கோவைகளின் காரணிப்படுத்துதலை அறிந்துகொள்ளுதல். 

• ஒருபடிச் சமன்பாடுகளில் அமைந்த வாக்கியக் கணக்குகளைத் தீர்க்க தெரிந்துகொள்ளுதல்.

• வரைபடத்தாளில் புள்ளிகளைக் குறிக்கத் தெரிந்துகொள்ளுதல். 

•  நேரியச் சமன்பாடுகளின் வரைபடங்களை வரையக் கற்றுக் கொள்ளுதல்.

மீள்பார்வை

நாம் சென்ற வகுப்பில் மாறி, மாறிலி, ஒத்த உறுப்புகள், மாறுபட்ட உறுப்புகள், கெழுக்கள், எண்கோவைகள் மற்றும் இயற்கணிதக் கோவைகளைப் பற்றி படித்துள்ளோம். பிறகு நாம் இயற்கணிதக் கோவையில் சில அடிப்படைச் செயல்களான கூட்டல், கழித்தல் செயல்களைச் செய்து பார்த்துள்ளோம். இப்போது நாம் அவைகளை நினைவுகூர்ந்து மேலும் கற்றலின் அடுத்த நிலைக்குச் செல்வோம்.

இதனுடன் இயற்கணிதக் கோவைகளின் பெருக்கல் மற்றும் வகுத்தல் செயல்பாடுகள் மற்றும் இயற்கணித முற்றொருமைகளைப் பற்றித் தெரிந்துகொள்வோம். 

கீழ்க்காணும் வினாக்களுக்கு விடையளிக்க. 

1. பின்வரும் கோவைகளில் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கையை எழுதுக. 

(i) x + y + z – xyz

(ii) m2 n2 c

(iii) a2 b2 c – a b2 c2 + a2 b c2 + 3abc

(iv) 8x2 – 4xy +7xy2 

2. பின்வரும் கோவைகளில் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பின் எண் கெழுவைக் காண்க. 

(i) 2x2 – 5xy + 6y2 + 7x – 10y + 9

(ii)

3. பின்வருவனவற்றுள் உள்ள ஒத்த உறுப்புகளை எடுத்து எழுதுக.

4. கூட்டுக: 2x , 6y , 9x , – 2y

5. சுருக்குக: (5x3y3 – 3x2y2 + xy + 7) + (2xy + x3y3 – 5 + 2x2y2)

6. ஒரு முக்கோணத்தின் பக்கங்கள் முறையே 2x – 5y + 9 , 3y + 6x –7 மற்றும் –4x + y +10 எனில், அம்முக்கோணத்தின் சுற்றளவைக் காண்க 

7. 6mn இலிருந்து – 2mn கழிக்க.

8. 4a2 – 3ab + b2 இலிருந்து 6a2  – 5ab + 3b2 ஐக் கழிக்க.

9. ஒரு மரக்கட்டையின் நீளம் (3a + 4b – 2), அதிலிருந்து (2a – b) நீளமுள்ள ஒரு மரத்துண்டு நீக்கப்படுகிறது எனில் மீதமுள்ள மரக்கட்டையின் நீளம் எவ்வளவு?

10. ஒரு தகரப் பாத்திரத்தில் 'x' லிட்டர் எண்ணெய் உள்ளது. மற்றொரு தகரப் பாத்திரத்தில் (3x2 + 6x – 5) லிட்டர் எண்ணெய் உள்ளது. கடைக்காரர் (x + 7) லிட்டர் எண்ணெயை கூடுதலாக இரண்டாவது பாத்திரத்தில் சேர்க்கிறார். பிறகு, இரண்டாவது தகரப் பாத்திரத்தில் இருந்து (x2 + 6) லிட்டர் எண்ணெயை விற்றுவிடுகிறார் எனில், இரண்டாவது தகரப் பாத்திரத்தில் மீதமுள்ள எண்ணெய்யின் அளவு எவ்வளவு?

எங்கும் கணிதம் – அன்றாட வாழ்வில் இயற்கணிதம்

வேகம், தூரம், நேரம், சராசரி வேகம் ஆகியவற்றைக் காண ஒருபடிச் சமன்பாடுகள் பயன்படுகின்றன.

ஓவியங்கள் வரைவதற்கு வரைபடங்கள் பயன்படுகிறது.

அறிமுகம்

கொடுக்கப்பட்டுள்ள சூழலைக் கருதுவோம். கணேஷ் தன்னுடைய தோட்டத்தில் மரக்கன்றுகளை நட்டார். அவர் ஒவ்வொரு வரிசையிலும் 5 மரக்கன்றுகள் வீதம் 10 வரிசைகளில் நட்டார் எனில், கணேஷ் எத்தனை மரக்கன்றுகளை நட்டார் என உங்களால் கூற முடியுமா?

ஆம், மொத்த மரக்கன்றுகளின் எண்ணிக்கையானது வரிசைகளின் எண்ணிக்கை மற்றும் ஒவ்வொரு வரிசையிலும் உள்ள மரக்கன்றுகளின் எண்ணிக்கை ஆகியவற்றின் பெருக்கற் பலன் என்பது நமக்குத் தெரியும்.

எனவே, மொத்த மரக்கன்றுகளின் எண்ணிக்கை = 10 வரிசைகள் × 5 மரக்கன்றுகள் வீதம்

= 10 × 5 = 50 மரக்கன்றுகள் 

இதேபோன்று, டேவிட் சில மரக்கன்றுகளை நட்டார். அவர் நட்ட மொத்த வரிசைகளின் எண்ணிக்கையும் மற்றும் ஒவ்வொரு வரிசையிலுமுள்ள மரக்கன்றுகளின் எண்ணிக்கையும் தெரியவில்லை எனில் அவர் நட்ட மொத்த மரக்கன்றுகளின் எண்ணிக்கையை உங்களால் கூறமுடியுமா?

தெரியாத மதிப்புகளை நாம் 'x' மற்றும் 'y' என எடுத்துக்கொள்வோம். ஆகவே அவர் நட்ட மொத்த மரக் கன்றுகளின் எண்ணிக்கை = 'x' வரிசை × 'y' மரக்கன்றுகள் வீதம்

= ‘x × y’ = xy மரக்கன்றுகள் 

இந்தச் சூழ்நிலையை மேலும் விரிவாக்குவோம், ரஹீம் என்பவர், தன்னுடைய தோட்டத்தில் ஒவ்வொரு வரிசையிலும் 3y2 மரக்கன்றுகள் உள்ளவாறு (2x2 + 5x – 7) வரிசைகளில் மரக்கன்றுகளை நட்டார் எனில், இப்போது ரஹீம் நட்ட மொத்த மரக் கன்றுகளின் எண்ணிக்கையைக் காண மேலே கூறிய வழிமுறைகள் நமக்கு உதவுகிறது. 

மொத்த மரக் கன்றுகளின் எண்ணிக்கை

= (2x2 + 5x – 7) வரிசைகளின் எண்ணிக்கை × 3y2 மரக்கன்றுகள் வீதம்

= 3y2 × (2x2 + 5x –7) 

மேற்காணும் இயற்கணிதக் கோவையை எவ்வாறு பெருக்குவீர்கள்? 

இயற்கணிதக் கோவைகளின் பெருக்கலைக் காணும் முறையை நாம் இப்போது கற்போம்.

குறிப்பு

பல்லுறுப்புக் கோவை

இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட இயற்கணித உறுப்புகளைக் கொண்ட ஒரு கோவை பல்லுறுப்புக் கோவை எனப்படும். பல்லுறுப்புக் கோவையின் அனைத்து மாறிகளின் அடுக்குகளும் ஒரு முழு எண்ணாக இருக்கும்.

எ.கா: a2 + 2ab + b2 

4x2 + 3x – 7 

ஒரு பல்லுறுப்புக் கோவை கீழ்க்கண்டவற்றை கொண்டு இருக்காது 

1) மாறியால் வகுத்தல்: எ.கா. 4x2 – [5 / (1+ x) ]பல்லுறுப்புக் கோவை அல்ல.

2) மாறியில் குறை அடுக்கு: எ.கா. 7x–2 + 5x – 6 பல்லுறுப்புக் கோவை அல்ல.

3) மாறியின் அடுக்கு பின்னமாக: எ.கா. 3x3 + 4x1/2 + 5 பல்லுறுப்புக் கோவை அல்ல.

ஓருறுப்புக் கோவை

ஒரேயோர் உறுப்பு மட்டுமே உள்ள கோவை ஓருறுப்புக் கோவை எனப்படும். எ.கா: 4x, 3x2y, –2y2. 

ஈறுருப்புக் கோவை

இரண்டு உறுப்புகள் மட்டுமே உள்ள கோவை ஈறுருப்புக் கோவை எனப்படும். எ.கா: 2x + 3, 5y2 + 9y, a2b2 + 2b. 

மூவுறுப்புக் கோவை

மூன்று உறுப்புகள் மட்டுமே உள்ள கோவை மூவுறுப்புக் கோவை எனப்படும். எ.கா: 2a2b – 8ab + b2, m2 – n2 + 3 .