வரைபடங்கள்

வரைபடங்கள்

1. அறிமுகம் 

17ஆம் நூற்றாண்டில் வாழ்ந்த 'ரெனே டெஸ்கார்ட்' என்ற கணித அறிஞர் ஒருநாள் உடல்நிலை சரியில்லாமல் படுக்கையில் படுத்து இருந்தார். தான் படுத்திருந்த இடத்தின் மேல்தளத்தில் பல்வேறு இடங்களில் மாறி மாறி அமர்ந்த ஒரு பூச்சியினைக் கண்டார். அந்தப் பூச்சி தளத்தில் எங்கெல்லாம் அமர்ந்து இருந்தது என அறிய விரும்பினார். உடனடியாக அந்த அறையின் மேல்தளத்தை ஒரு தாளில் வரைந்தார். விளிம்புகளைக் கிடைமட்ட, செங்குத்துக் கோடுகளாக வரைந்துக் கொண்டார். இந்தச் செங்குத்துக் கோடுகளை அடிப்படையாகக் கொண்டு அவர் திசைகளைப் பயன்படுத்தி பூச்சியானது கிழக்கு, மேற்கு, வடக்கு, தெற்கு திசைகளில் நகர்ந்து, அமர்ந்த இடங்களைக் குறிப்பதற்கு தெரிந்துகொண்டார். அவர் பூச்சி உட்கார்ந்த இடங்களை தளத்தில் (x,y) என அழைத்தார். அது இரண்டு மதிப்புகளைக் குறிக்கிறது. ஒன்று (x) கிடைமட்டத் திசையையும், மற்றொன்று (y) செங்குத்துத் திசையையும் (இங்கு கிழக்கு மற்றும் வடக்கு திசைகள்) குறிக்கிறது. இதுவே வரைபடங்கள் என்ற கருத்தியல் உருவாகக் காரணமாயிற்று. 

2. வரைபடத்தாள்கள்

வரைப்படம் என்பது எண்களுக்கு இடையில் உள்ள தொடர்புகளைக் காட்டும் ஒரு பட விளக்க முறை ஆகும். சென்ற வகுப்புகளில் நாம் முழுக்களை எவ்வாறு ஒரு கிடைமட்டக் கோட்டில் குறிப்பது எனப் படித்துள்ளோம். இப்போது மற்றோர் எண்கோட்டை செங்குத்தாக எடுத்துக்கொள்வோம். ஒரு வரைபடத்தாளில் இந்த இரண்டு எண்கோடுகளையும் '0' பூச்சியத்தில் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தாகப் படத்தில் காட்டியுள்ளவாறு வைக்கவும். இந்த எண்கோடுகளையும் அதில் குறிக்கப்பட்டுள்ள எண்களையும் வரைபடத்தாளில் உள்ள அழுத்தமான கோட்டின் மீது அமையுமாறு பொருத்த வேண்டும்.

இந்த இரண்டு செங்குத்துக் கோடுகளும் வெட்டும் புள்ளி ‘O' ஆனது ஆதிப்புள்ளி (0,0) எனக் குறிக்கப்படுகிறது. 

கார்டீசியன் அமைப்பு

'ரெனே டெஸ்கார்ட்ஸ்’ முறையில் ஒரு புள்ளியை கிடைமட்டம், செங்குத்து என இரண்டு அளவுகளில், குறிப்பதை அவருக்கு மரியாதை செலுத்தும், விதமாக கார்டீசியன் அமைப்பு எனப் பெயரிடப்பட்டது. கிடைமட்டக் கோட்டை XOX'  எனக் குறித்து அதை X அச்சு என அழைக்கிறோம். செங்குத்துக்கோட்டை YOY' எனக் குறித்து, அதை Y அச்சு என அழைக்கிறோம். இந்த இரண்டு அச்சுகளும் ஆய அச்சுகள் எனப்படும். X அச்சு, Y அச்சு பெற்றிருக்கும் தளத்தினை ஆய அச்சுத் தளம் அல்லது கார்டீசியன் தளம் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

3. வரைபடங்களில் குறிகள் 

1. ஒரு புள்ளியின் X ஆயத்தொலைவு OX இன் மீது நேர்குறியிலும், OX' இன் மீது குறை குறியிலும் குறிக்கப்படும் 

2. ஒரு புள்ளியின் Y ஆயத்தொலைவு OY இன் மீது நேர்குறியிலும், OY' இன் மீது குறை குறியிலும் குறிக்கப்படும்.

4. வரிசைச் சோடிகள்

தளத்தில் ஓரிடத்தைக் குறிப்பது புள்ளி ஆகும். ஒரு புள்ளியை (a, b) என்ற சோடியால் குறிக்கின்றோம். a மற்றும் b ஆகிய இரண்டு எண்களும் ஒரு குறிப்பிட்ட வரிசையில் அதாவது 'a’ என்பது X அச்சுத் தூரத்தையும் ‘b’ என்பது Y அச்சுத் தூரத்தையும் குறிக்கும். இதுவே வரிசை சோடி (a,b) எனப்படும். இது, தளத்தில் அமைந்துள்ள ஒரு புள்ளியைத் துல்லியமாகக் குறிக்க நமக்குப் பயன்படுகிறது. ஒவ்வொரு புள்ளியையும் ஒரு சோடி எண்களால் மிகச் சரியாக அறியலாம். இதிலிருந்து (b, a) என்ற புள்ளியும் (a,b) என்ற புள்ளியும் ஒரே இடத்தைக் குறிப்பது இல்லை எனத் தெளிவாகத் தெரிகிறது. அவை வெவ்வேறு வரிசைகளைக் குறிக்கின்றன. 

நாம் XOX’ மற்றும் YOY’ ஆயஅச்சுகள் கொண்ட தளத்தில் M (4, 3) என்ற ஒரு புள்ளியை எடுத்துக்கொள்வோம். 

(i) நீங்கள் எப்பொழுதும் 'O' என்ற நிலையான புள்ளியிலிருந்து தொடங்க வேண்டும். இதனை நாம் ஆதிப்புள்ளி என அழைக்கிறோம்.

(ii) முதலில் 4 அலகுகள் கிடைமட்டத் திசையில் நகர வேண்டும். (அதாவது X அச்சு திசையில் நகர வேண்டும்.)

(iii) பிறகு Y அச்சு திசையில் 3 அலகுகள் நகர வேண்டும். நாம் எப்படி நகர்ந்து 'M' என்ற புள்ளியை அடைந்தோம் எனப் புரிந்துகொண்டு, அதனை M (4,3) எனக் குறிக்கிறோம்.

4 என்பது ‘M’ இன் X ஆயத்தொலைவு மற்றும் 3 என்பது 'M' இன் Y ஆயத் தொலைவு ஆகும். மேலும் இதனை நாம் வழக்கமாக X ஆயத்தொலைவை abscissa எனவும், Y ஆயத்தொலைவை ‘ordinate' எனவும் ஆங்கிலத்தில் அழைக்கிறோம். (4,3) என்பது ஒரு வரிசைச் சோடி ஆகும்.

சிந்திக்க 

(4, 3) என்ற புள்ளிக்குப் பதிலாக (3,4) என எழுதி வரைபடத்தாளில் குறிக்க முயற்சி செய்தால், அது மீண்டும் புள்ளி ‘M' ஐக் குறிக்குமா?

5. கால்பகுதிகள்

தளத்தில் அமைந்த வரைபடத்தை ஆயஅச்சுகள் நான்கு ‘கால்பகுதிகளாக’ பிரிக்கின்றன. வழக்கமாக இந்த கால் பகுதிகளைக் கடிகார இயக்கதிசைக்கு எதிர்த் திசையில் X அச்சின் நேர்குறி திசையில் இருந்து தொடங்கிப் பெயரிடுவோம்.

ஆய அச்சுகள் மீது ஒரு புள்ளியின் ஆயத் தொலைவுகள்: 

• y = 0 எனில் (x, 0) என்ற புள்ளி 'X' அச்சின் மீது அமைந்திருக்கும்.

(எ.கா) (2,0), (–5,0), (7,0) ஆகிய புள்ளிகள் 'X' அச்சின் மீது உள்ளன. 

• x = 0 எனில் (0,y) என்ற புள்ளி 'Y' அச்சின் மீது அமைந்திருக்கும்.

(எ.கா) (0,3), (0,–4), (0,9) ஆகிய புள்ளிகள் ‘Y’ அச்சின் மீது உள்ளன. 

6. கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகளை வரைபடத்தாளில் குறித்தல்

கீழ்க்கண்ட புள்ளிகளை எடுத்துக்கொள்வோம். (4,3), (–4,5), (–3,–6), (5,–2), (6,0), (0,–5) 

(i) (4,3) என்ற புள்ளியைக் குறிக்க. 

ஆதிப்புள்ளி ‘O' இலிருந்து OX வழியாக 4 அலகுகள் நகர்ந்து பிறகு 4இலிருந்து OY இக்கு இணையாக 3 அலகுகள் நகர்ந்தால் புள்ளி M(4,3) ஐக் குறிக்கலாம். 

(ii) (–4,5) என்ற புள்ளியைக் குறிக்க. 

ஆதிப்புள்ளி 'O' இலிருந்து OX' வழியாக 4 அலகுகள் நகர்ந்து பிறகு –4 இலிருந்து OY இக்கு இணையாக 5 அலகுகள் நகர்ந்தால் புள்ளி N(–4,5) ஐக் குறிக்கலாம். 

(iii) (– 3,– 6) என்ற புள்ளியைக் குறிக்க. 

ஆதிப்புள்ளி ‘O' இலிருந்து OX' வழியாக 3 அலகுகள் நகர்ந்து பிறகு – 3 இலிருந்து OY'இக்கு இணையாக 6 அலகுகள் நகர்ந்தால் புள்ளி P(–3, –6) ஐக் குறிக்கலாம்.

(iv) (5,–2) என்ற புள்ளியைக் குறிக்க.

ஆதிப்புள்ளி ‘O' இலிருந்து OX வழியாக 5 அலகுகள் நகர்ந்து பிறகு 5இலிருந்து OY' இக்கு இணையாக 2 அலகுகள் நகர்ந்தால் புள்ளி Q(5,–2) ஐக் குறிக்கலாம். 

(v) (6,0) மற்றும் (0,– 5) புள்ளிகளைக் குறிக்க.

(6,0) என்று கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியில் X ஆயத்தொலைவு 6 மற்றும் Y ஆயத்தொலைவு ‘0' ஆகும். எனவே, இந்த புள்ளி OX அச்சின் மீது அமைந்துள்ளது. ஆதிப்புள்ளி ‘O’ இலிருந்து OX வழியாக 6 அலகுகள் நகர்ந்தால் புள்ளி R(6,0) ஐக் குறிக்கலாம்.

(0,–5) என்று கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியில் X ஆயத்தொலைவு ‘0' மற்றும் Y ஆயத்தொலைவு –5 ஆகும். எனவே, இந்த புள்ளி Y அச்சின் மீது அமைந்துள்ளது. ஆதிப்புள்ளி ‘O' இலிருந்து OY’ வழியாக 5 அலகுகள் நகர்ந்தால் புள்ளி S (0,–5) ஐக் குறிக்கலாம்.

இவற்றை முயல்க

1. கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ள அட்டவணையை நிரப்புக. 

2. கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ள படத்தில் ஆங்கில எழுத்துக்களால் குறிக்கப்பட்டுள்ள புள்ளிகளின் ஆயத்தொலைவுகளை எழுதுக.