ஒரு மாறியில் அமைந்த நேரியல் சமன்பாடுகள்

ஒரு மாறியில் அமைந்த நேரியல் சமன்பாடுகள்

1. அறிமுகம்

இயற்கணிதத்தில் சென்ற வகுப்பில் படித்த சில அடிப்படைக் கூற்றுகளை நினைவு கூர்வோம்.

செவ்வகத்தின் சுற்றளவைக் காணும் சூத்திரம் என்ன? செவ்வகத்தின் நீளத்தை l எனவும், அகலத்தை b எனவும் கொண்டால் சுற்றளவு p என்பது 2(l + b) ஆகும். இந்த சூத்திரத்தில், 2 என்பது மாறாத எண். ஆனால் p, l மற்றும் b ஆகியவற்றின் மதிப்புகள் மாறாதது அல்ல. ஏனெனில் அவை செவ்வகத்தின் அளவுகளைப் பொருத்தது.

இங்கு p, l மற்றும் b ஆகியவை மாறிகள். செவ்வகத்தின் வெவ்வேறு அளவுகளுக்கு இவற்றின் மதிப்புகள் மாறிக்கொண்டே இருக்கும். 2 என்பது ஒரு மாறிலி. (இது எந்தவொரு செவ்வகத்தின் அளவுக்கும் மாறாத மதிப்பு ஆகும்.)

ஓர் இயற்கணிதக் கோவை என்பது மாறிகள், மாறிலிகள், அடிப்படைச் செயல்கள் (+ அல்லது – குறிகள்) ஆகியவற்றை உள்ளடக்கிய ஒன்று அல்லது அதற்கும் மேற்பட்ட இயற்கணித உறுப்புகளைக் கொண்ட கணிதத்தொடர் ஆகும். (எ.கா) 4x2 + 5x + 7xy + 100 என்பது ஓர் இயற்கணிதக் கோவை ஆகும். இதில் முதல் உறுப்பு 4x2 இல் 4 என்ற மாறிலியும் x2 என்ற மாறியும் உள்ளதை கவனிக்க 7xyஇல் உள்ள மாறிலி என்ன? இக்கோவையின் கடைசி உறுப்பில் மாறி ஏதேனும் உள்ளதா?

கெழுக்கள் என்பன உறுப்புகளில் மாறியுடன் உள்ள எண் பகுதிகள் ஆகும். 4x2 + 5x + 7xy + 100 இல், முதல் உறுப்பின் கெழு 4, இரண்டாவது உறுப்பின் கெழு என்ன? 5 ஆகும். மூன்றாவது உறுப்பின் கெழு 7.

2. இயற்கணிதக் கோவைகளைக் கட்டமைத்தல்

இப்போது நாம் சில கூற்றுகளை இயற்கணித மொழிக்கு மாற்றம் செய்து, அவற்றை எவ்வாறு அமைப்பது என்பதை நினைவு கூர்வோம். இங்கு சில எடுத்துக்காட்டுகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.

3. சமன்பாடுகள்

இரண்டு கோவைகளின் சமத்தன்மையை உறுதிபடுத்தும் ஒரு கூற்றானது சமன்பாடு ஆகும். எடுத்துக்காட்டாக 2x + 7 = 17 என்பது ஒரு சமன்பாடு. இங்கு ‘சமக்குறி’ யின் இரு பக்கங்களிலும் கோவைகள் எழுதப்பட்டிருக்கும்.

2x + 7 (x ஒரு மாறி) என்பது சமன்பாட்டின் இடதுகை பக்கமும் 17 வலதுகை பக்கமும் உள்ள கோவைகள் ஆகும். 

நேரியல் சமன்பாடுகள்

ஒரு சமன்பாடு ஒரே ஒரு மாறியில் அமைந்து அந்த மாறியின் மிக உயர்ந்த அடுக்கு ஒன்றாக (1) இருந்தால், அது ஒருபடிச் சமன்பாடு அல்லது நேரியல் சமன்பாடு எனப்படும். எ.கா. 3x – 7 = 10. 

ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட மாறிகளைக் கொண்ட ஒருபடிச் சமன்பாடுகள்:

 வாக்கியங்களைக் (கூற்று) கணித உறுப்புகளாக மாற்றி எழுதும்போது ஒருபடிச் சமன்பாடுகள் அமைகிறது. ஒருபடிச் சமன்பாடுகளுக்கு சில எடுத்துக்காட்டுகள் 

(i) ஓர் எண்ணுடன் 5ஐ கூட்டக் கிடைப்பது 25

இந்தக் கூற்றை  x + 5 = 25 என எழுதலாம்.

x + 5 = 25 என்ற சமன்பாடானது x என்ற ஒரு மாறியில் அமைந்துள்ளது. இதன் மிக உயர்ந்த அடுக்கு ஒன்று (1) ஆகும். எனவே இதனை ஒரு மாறியில் அமைந்த ஒருபடிச் சமன்பாடு அல்லது நேரியல் சமன்பாடு என்கிறோம்.

அதாவது, ஒரு சமன்பாடு ஒரே ஒரு மாறியில் அமைந்து அந்த மாறியின் மிக உயர்ந்த அடுக்கு ஒன்றாக (1) இருந்தால், அது ஒருபடிச் சமன்பாடு அல்லது நேரியல் சமன்பாடு எனப்படும். 

எடுத்துக்காட்டு : 5x – 2 = 8,           3y + 24 = 0

ஒரு மாறியில் அமைந்த ஒருபடிச் சமன்பாடுகளை எளிய சமன்பாடுகள் என்றும் அழைக்கலாம். 

(ii) இரண்டு எண்களின் கூடுதல் 45

இந்தக் கூற்றை x + y = 45 என எழுதலாம்.

இந்த சமன்பாடானது x மற்றும் y என்ற இரண்டு மாறிலிகளைக் கொண்டு உருவானது. இவற்றின் மிக உயர்ந்த அடுக்கு 1 ஆகும். எனவே இந்த சமன்பாடுகளை இரண்டு மாறிகளில் அமைந்த ஒருபடிச் சமன்பாடுகள் என அழைக்கிறோம்.

இந்த வகுப்பில் ஒரு மாறியில் அமைந்த ஒருபடிச் சமன்பாடுகளுக்கு தீர்வு காணுவதைப்பற்றி படிப்போம். மற்ற வகை சமன்பாடுகளுக்கு எவ்வாறு தீர்வு காணுவது என்பதை மேல் வகுப்பில் கற்றுக்கொள்வோம்.

குறிப்பு

மாறியின் மிக உயர்ந்த அடுக்கு 2, 3 என அமைந்த சமன்பாடுகளை நாம் இரு படிச் சமன்பாடுகள் மற்றும் முப்படிச் சமன்பாடுகள் என அழைக்கிறோம்.

எடுத்துக்காட்டு : (i) x2 + 4x + 7 = 0 என்பது ஒரு இருபடிச் சமன்பாடு ஆகும்.

(ii) 5x3 – x2 + 3x = 10 என்பது ஒரு முப்படிச் சமன்பாடு ஆகும்.

இவற்றை முயல்க

கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளவற்றில் எவையெவை ஒருபடிச் சமன்பாடுகள் எனக் கண்டறிக.

(i) 2 + x = 19    

(ii) 7x2 – 5 = 3    

(iii) 4p3 = 12    

(iv) 6m + 2     

(v) n = 10

(vi) 7k – 12 = 0   

(vii) (6x / 8) + y = 1  

(viii) 5 + y = 3x   

(ix) 10p + 2q = 3    

(x) x2 – 2x – 4

பின்வரும் கூற்றுகளை ஒருபடிச் சமன்பாடுகளாக மாற்றுக.

எடுத்துக்காட்டு 3.28

கொடுக்கப்பட்ட ஓர் எண்ணுடன் 7ஐக் கூட்ட 19 கிடைக்கிறது. 

தீர்வு :

ஓர் எண்ணை n என்க. 

அதனுடன் 7ஐக் கூட்ட நமக்கு n + 7ஆனது கிடைக்கிறது. 

இதன் விடை 19ஐக் கொடுக்கிறது. 

எனவே சமன்பாடு n + 7 = 19 எனக் கிடைக்கிறது.

சிந்திக்க 

(i) t(t – 5) = 10 என்பது ஓர் ஒருபடிச் சமன்பாடு ஆகுமா?

(ii) x2 = 2x, என்பது ஓர் ஒருபடிச் சமன்பாடு ஆகுமா? ஏன்?

எடுத்துக்காட்டு 3.29

ஓர் எண்ணின் 4 மடங்குடன் 18 ஐக் கூட்ட 28 கிடைக்கிறது.

தீர்வு:

ஓர் எண்ணை x என்க. 

அந்த எண்ணின் 4 மடங்கு என்பது 4x ஆகும். 

இப்போது 18 ஐக் கூட்ட, கிடைப்பது 4x + 18 ஆகும். 

இதற்கான விடை 28. எனவே, இந்த சமன்பாடு 4x + 18 = 28 ஆகும்.

இவற்றை முயல்க

பின்வரும் கூற்றுகளை ஒருபடிச் சமன்பாடுகளாக மாற்றுக. 

1. ஓர் எண் மற்றம் 5இன் பெருக்கற்பலனில் இருந்து 8 ஐ கழிக்க, எனக்கு கிடைப்பது 32 ஆகும். 

2. அடுத்தடுத்த மூன்று முழுக்களின் கூடுதல் 78 ஆகும். 

3. பீட்டர் என்பவர் ஓர் இருநூறு ரூபாய்த் தாளை வைத்துள்ளார். ஒரு புத்தகத்தின் 7 பிரதிகளை விலைக்கு வாங்கிய பிறகு மீதியாக அவரிடம் ₹60 உள்ளது. 

4. ஓர் இருசமபக்க முக்கோணத்தின் அடிக்கோணங்கள் சமம், உச்சி கோணம் 80° ஆகும். 

5. ABC என்ற முக்கோணத்தில், கோணம் ∠A என்பது கோணம் ∠B ஐ விட 10° அதிகம் ஆகும். மேலும் கோணம் ∠C என்பது கோணம் ∠A ஐ போன்று மூன்று மடங்கு ஆகும். இந்த சமன்பாட்டைக் கோணம் ∠B ஐ பொருத்து அமைக்கவும். 

4. ஒருபடிச் சமன்பாடுகளின் தீர்வுகள்

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டில் உள்ள மாறிகளுக்குப் பதிலாக பிரதியிடும் எண்ணானது, சமன்பாட்டின் இருபுறமும் ஒரே மதிப்பைக் கொடுத்தால், அவ்வெண்ணை அச்சமன்பாட்டின் தீர்வு அல்லது மூலம் என அழைக்கின்றோம். 

எடுத்துக்காட்டு: 2x = 10

இந்த சமன்பாடானது x = 5 என்ற எண்ணிற்கு நிறைவு செய்கிறது. அதாவது இந்த சமன்பாட்டில் x = 5 எனப் பிரதியிட்டால் சமன்பாட்டின் இடது பக்கமும், வலது பக்கமும் உள்ள மதிப்புகள் சமம் ஆகும். எனவே x = 5 என்பது இந்த சமன்பாட்டின் தீர்வு ஆகும். இங்கு x இன் வேறு எந்த ஒரு மதிப்புக்கும் சமன்பாடு நிறைவடையாது என்பதனைக் கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும். ஆக x = 5 என்பது மட்டுமே ‘அந்த’ தீர்வு ஆகும். 

(i) செயல் – எதிர்ச்செயல் முறை:

கூற்று

ஓர் எண்ணின் இரண்டு மடங்கிலிருந்து 5 ஐ குறைக்கக் கிடைப்பது 11.  

சிந்திக்க 

தேவையான எண் என்பது தெரியாது. இதனை x என்க. அந்த எண்ணின் இரண்டு மடங்கு என்பது  2x ஆகும். 5 குறைவு எனில் 2x – 5 ஆகும். இதன் விடையானது 11 எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

மேற்கண்ட சமன்பாடு உருவான விதத்தைக் கீழ்க்காணுமாறு காணலாம்.

x என்ற எண்ணிலிருந்து 2x – 5 என்ற நிலையை அடைய கழித்தல், பெருக்கல் போன்ற செயல்களை நாம் மேற்கொள்ள வேண்டும். எனவே,  2x – 5 = 11 எனக் கொடுக்கப்பட்ட போது,  திரும்பவும் x  இன் மதிப்பை பெற முன்பு செய்த செயல்களுக்கு எதிர்ச் செயல்களை (குறி மாற்றம் செய்தல்) செய்ய வேண்டும். அதாவது, அடிப்படை 'செயல்கள்' மூலம் சமன்பாட்டை அமைக்கின்றோம். மேலும் எதிர்ச் செயல்களை செய்து அதற்கான தீர்வைப் பெறுகின்றோம்.

எடுத்துக்காட்டு 3.30

(அ) x – 7 = 6 என்ற சமன்பாட்டைத் தீர்க்க 

தீர்வு:

x – 7 = 6

x – 7 + 7 = 6 + 7

x = 13

(ஆ) 3x = 51 என்ற சமன்பாட்டைத் தீர்க்க 

தீர்வு:

3x  =  51       (எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.) 

3 × x  = 51 

இருபுறமும் 3ஆல் வகுக்க

x = 17 

(ii) இடமாற்று முறை

சமன்பாட்டில் ஒரு பக்கத்தில் உள்ள ஓர் எண்ணை மற்றொரு பக்கத்திற்குக் கொண்டு செல்வது இடமாற்று முறை ஆகும்.

மேற்கண்ட எடுத்துக்காட்டில் (அ) இருபுறமும் 7 ஐக் கூட்டுவது என்ற செயலுக்குப் பதிலாக இடதுபுறம் உள்ள –7 இன் கூட்டல் எதிர்மறையான +7 ஐக் கொண்டு வலதுபுறத்தில் கூட்டுவதற்குச் சமம் ஆகும்.

x – 7  = 6  

அதேபோல் (ஆ), இருபுறமும் 3 ஆல் வகுப்பது என்ற செயலானது, இடது பக்கம் உள்ள 3 இன் பெருக்கல் தலைகீழியான 1/3 ஐ எடுத்து அதனை வலது பக்கத்தில் வைத்துப் பெருக்குவதற்குச் சமம் ஆகும். இதன் மறுதலையும் உண்மையாகும். 

எடுத்துக்காட்டாக: 

சிந்திக்க

ஒருபடிச் சமன்பாடுகளுக்கு உங்களால் ஒன்றுக்கும் மேற்பட்ட தீர்வுகளைப் பெறமுடியுமா?

எடுத்துக்காட்டு 3.31

தீர்க்க: 2x + 5 = 9

குறிப்பு

கொடுக்கப்பட்ட ஒருபடிச் சமன்பாடுகளை மாற்றியமைக்க, ஒத்த உறுப்புகளை ஒரே தொகுப்பாகச் சமகுறியின் ஒரு பக்கத்திற்கு கொண்டு வரவேண்டும். பிறகு, இருபுறமும் உள்ள கோவைகளில் இருக்கும் குறிகளைப் பொருத்து அடிப்படைச் செயல்களை செய்ய வேண்டும்.

இவற்றை முயல்க

I. தீர்க்க 

(i) 2x = 10      

(ii) 3 + x = 5      

(iii) x – 6 = 10 

(iv) 3x + 5 = 2     

(v) 2x/7 = 3  

(vi) –2 = 4m – 6 

(vii) 4(3x – 1) = 80   

(viii) 3x – 8 = 7 – 2x

(ix) 7 – y = 3(5 – y)   

(x) 4(1 – 2y) – 2(3 – y) = 0 

சிந்திக்க

1. பூச்சியமற்ற ஓர் எண்ணைக் கொண்டு ஒரு சமன்பாட்டின் இருபுறமும் பெருக்கினாலோ அல்லது வகுத்தாலோ சமன்பாட்டின் தீர்வில் ஏதேனும் மாற்றம் இருக்குமா? 

2. இரண்டு வெவ்வேறு எண்களால் ஒரு சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் பெருக்கினாலோ அல்லது வகுத்தாலோ சமன்பாடு என்னவாகும்?