காரணிப்படுத்துதல்

காரணிப்படுத்துதல்

எந்த ஒரு எண்ணையும், இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட எண்களின் பெருக்கற்பலனாக எழுதுவதைக் காரணிப்படுத்துதல் என்கிறோம். எண் 12 ஐப் பகாக் காரணிகளின் பெருக்கற்பலனாக எழுதலாம். 12 = 2 × 2 × 3 இதனைப் பகாக் காரணிபடுத்துதல் என்கிறோம்.

குறிப்பு

பகா எண்கள்: ஒன்றாலும், தன்னாலும் வகுபடக் கூடிய எண்கள் அல்லது இரண்டு காரணிகளை மட்டுமே உடைய எண்கள். எடுத்துக்காட்டு: 2, 3, 5,7, 11,... .

பகு எண்கள்: இரண்டுக்கும் மேற்பட்ட காரணிகளை உடைய எண்கள். எடுத்துக்காட்டு: 4, 6, 8, 9, 10, 12,....

இயற்கணிதக் கோவையை எவ்வாறு காரணிப்படுத்துவீர்கள்? ஆம். கொடுக்கப்பட்ட  கோவையை இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட கோவைகளின் பெருக்கல் பலனாக எழுத முடிந்தால் அதனைக் கோவைகளின் காரணிப்படுத்துதல் என்கிறோம்.

எடுத்துக்காட்டாக (i) a2 – b2 = (a + b)(a – b) இங்கு (a + b) மற்றும் (a – b) ஆகியவை a2 – b2 இன் இரண்டு காரணிகள் ஆகும்.

(ii) 5y + 30 = 5(y + 6) இங்கு 5 மற்றும் (y + 6) ஆகியவை 5y + 30 இன் இரண்டு காரணிகள் ஆகும். 

மேலும் எந்த ஒரு கோவையையும் நாம் (1) × (கோவை) எனக் காரணிப்படுத்தலாம். 

எடுத்துக்காட்டாக a2 – b2 என்பதனை (1) × (a2 – b2) அல்லது (–1) × (b2 – a2) என காரணிப்படுத்த முடியும். ஏனென்றால் எண் 1, அனைத்து எண்கள் மற்றும் கோவைகளின் காரணி ஆகும்.

எனவே, நாம் கோவைகளைக் காரணிப்படுத்தும்போது, கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளவற்றுள் பொருத்தமானக் காரணிப்படுத்துதல் முறையைப் பின்பற்றி இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட காரணிகளைப் பெறலாம் (1 ஐ தவிர).

வகை 1: ஒவ்வொரு உறுப்பிலும் உள்ள பொதுக் காரணியை வெளியே எடுத்துக் காரணிப்படுத்துதல் 

கோவையில் உள்ள அனைத்துப் பொதுக் காரணிகளையும் வெளியே எடுத்து காரணிகளை வரிசைப்படுத்த வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு 3.18

காரணிப்படுத்துக: 4x2 y + 8xy

தீர்வு :

இங்கு, 4x2y + 8xy ஐ கீழ்க்கண்டவாறு எழுதலாம்

 = (2 × 2 × x × x × y) + (2 × 2 × 2 × x × y)

2, 2, x, y என்ற பொதுக் காரணிகளை வெளியே எடுக்க, நமக்குக் கிடைப்பது, 

= 2 × 2 × x × y ( x + 2)

= 4xy (x + 2) 

வகை 2: ஒவ்வொரு உறுப்பில் இருந்தும் பொதுவாக உள்ள ஈருறுப்புக் காரணியை வெளியே எடுத்து காரணிப்படுத்துதல்.

எடுத்துக்காட்டு 3.19

(i) காரணிப்படுத்துக: (2x +5)(x – y) + (4y)(x – y) 

தீர்வு:

இங்கு (2x + 5)(x – y) + (4y)(x – y)

(x – y) என்ற பொதுக் காரணியை வெளியே எடுக்க நமக்கு கிடைப்பது, (x – y)(2x + 5 + 4y)

(ii) காரணிப்படுத்துக: 3n(p – 2) + 4(2 – p)

தீர்வு: 

இங்கு ஐ வெளியே எடுக்க 

3n(p – 2) – 4(p – 2) 

(p – 2) என்ற பொதுக் காரணியை வெளியே எடுக்க 

நமக்கு கிடைப்பது, (p – 2)(3n – 4)

வகை 3: ஒன்றாகச் சேர்த்துக் காரணிப்படுத்துதல்

சில நேரங்களில், கொடுக்கப்பட்ட கோவைகளில், பொதுக்காரணிகளைக் கொண்ட உறுப்புகளை மட்டும் ஒன்றாகச் சேர்த்து, அவ்வுறுப்புகளில் உள்ள பொதுக்காரணியை வெளியே எடுப்பதன் மூலம் எளிமையாகக் காரணிப்படுத்த இயலும்.

எடுத்துக்காட்டு 3.20

காரணிப்படுத்துக : x2 + yz + xy + xz 

தீர்வு:

இங்கு , x2 + yz +xy + xz 

பொருத்தமான முறையில் உறுப்புகளைச் சேர்க்க = (x2 + xy) + (yz + xz)

= x(x + y) + z( y + x)

= x(x + y) + z(x + y)         (பரிமாற்றுப் பண்பு) 

(x + y) என்ற பொதுக் காரணியை வெளியே எடுக்க, நமக்குக் கிடைப்பது

= (x + y)(x + z) 

வகை 4: முற்றொருமையைப் பயன்படுத்திக் காரணிப்படுத்துதல்

(i) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 

(ii) (a – b)2 = a2 – 2ab +b2 

(iii) a2 – b2 = (a + b)(a – b)

எடுத்துக்காட்டு 3.21

காரணிப்படுத்துக: x2 + 8x +16

தீர்வு: 

இங்கு , x2 + 8x + 16

உடன் ஒப்பிட நமக்குக் கிடைப்பது a = x ; b = 4 

(x2) + 2(x)(4) + (4)2 = (x + 4)2

x2 + 8x + 16 = (x + 4)2 = (x + 4) (x + 4) 

(x + 4), (x + 4) ஆகியவை இரு காரணிகளாகும். 

எடுத்துக்காட்டு 3.22

காரணிப்படுத்துக: 49x2 – 84xy + 36y2

தீர்வு: 

இங்கு, 49x2 – 84xy + 36y2 = 72 x2 – 84xy + 62y2

= (7x)2 – 2(7x)(6y) + (6y)2 

a2 – 2ab + b2 = (a – b)2 உடன் ஒப்பிட நமக்குக் கிடைப்பது a =7x, b = 6y

(7x)2 – 2(7x)(6y) + (6y)2 = (7x – 6y)2

∴ 49x2 – 84xy + 36y2 = (7x –6y)2 

(7x – 6y), (7x – 6y) ஆகியவை இரு காரணிகளாகும்.

இவற்றை முயல்க

காரணிகளைக் காண்க.

எடுத்துக்காட்டு 3.23

காரணிப்படுத்துக: 49x2 – 64y2

தீர்வு: 

இங்கு, 49x2 – 64y2 = 72 x2 –  82y2

= (7x)2 –  (8y)2

a2 – b2 = (a + b)(a – b)

உடன் ஒப்பிட நமக்குக் கிடைப்பது a =7x, b = 8y

எனவே (7x)2 –  (8y)2 =  (7x + 8y) (7x – 8y)

(7x + 8y), (7x – 8y) ஆகியவை இரு காரணிகளாகும்.

வகை 5: (ax2 + bx + c)   என்ற வடிவில் உள்ள கோவையைக் காரணிப்படுத்துதல்

எடுத்துக்காட்டு 3.24

காரணிப்படுத்துக: x2 + 8x  + 15

தீர்வு: 

x2 + 8x  + 15 என்ற கோவை ax2 + bx + c என்ற வடிவத்தில் உள்ளது.

இங்கு  a = 1, b = 8 , c = 15

பெருக்குத் தொகை = a × c                 கூடுதல் = b

= 1 × 15 = 15                                                          b = 8

= x2 + 8x  + 15

= x2 + 3x  + 5x  + 15 ( நடு உறுப்பு 8x  ஐ 3x  + 5x  என பிரித்து எழுத )

= (x2 + 3x ) +  (5x + 15 )

= x (x + 3) +  5(x + 3)

(பொதுக் காரணி x + 3 ஐ வெளியே எடுக்க)

x2 + 8x  + 15 =  (x + 3) (x + 5)

(x + 3), (x + 5) ஆகியவை இரு காரணிகளாகும்.

சிந்திக்க 

x2 – 4 (x  – 2)  =  (x2 – 4 ) (x  – 2)  இது சரியா? தவறு எனில், சரி செய்க.

எடுத்துக்காட்டு 3.25

காரணிப்படுத்துக: 7c2 + 2c – 5

தீர்வு: 

ax2 + bx + c என்ற வடிவத்தில் உள்ளது.

இங்கு a = 7, b = 2 , c = –5

பெருக்குத் தொகை = a × c  =  7 × ( –5) = –35    கூடுதல் b= 2  

= 7c2 + 2c – 5

= 7c2  – 5c + 7c – 5 (  நடு உறுப்பு 2c  ஐ – 5c  + 7c  என பிரித்து எழுத )

= (7c2  – 5c) + (7c – 5)

= c(7c – 5) + 1(7c – 5) (பொதுக் காரணி 7c – 5 ஐ வெளியே எடுக்க) 

= (7c – 5)(c + 1)

இவற்றை முயல்க

பின்வருவனவற்றைக் காரணிப்படுத்துக: 

(1) 3y + 6 

(2) 10x2 + 15y2 

(3) 7m(m – 5) + 1(5 – m) 

(4) 64 – x2 

(5) x2 – 3x + 2 

(6) y2 – 4y – 32 

(7) p2 + 2p – 15 

(8) m2 + 14m + 48 

(9) x2 – x – 90 

(10) 9x2 – 6x – 8