பல்லுறுப்புக் கோவைகளின் எண்கணிதம் (Arithmetic of Polynomials)

1. பல்லுறுப்புக் கோவைகளின் எண்கணிதம் (Arithmetic of Polynomials)

 பல்லுறுப்புக் கோவைகள் பற்றிய அதிகத் தகவல்களை அறிந்ததோடு மட்டுமல்லாமல், அவை பல வழிகளில் வகைப்படுத்தப்படுகின்றன என்பதையும் நாம் கண்டோம். இப்போது நாம் பல்லுறுப்புக் கோவைகளை வைத்து என்ன செய்யப் போகிறோம்? x இல் அமைந்த ஒரு பல்லுறுப்புக் கோவையைக் கருதுக.

நாம் x இன் ஒரு குறிப்பிட்ட மதிப்பில் அந்தப் பல்லுறுப்புக் கோவையை மதிப்பீடு செய்யலாம். x இன் மதிப்பு மாறும்போது பல்லுறுப்புக் கோவையால் உருவான சார்பு எவ்வாறு மாறுகிறது என நாம் கேட்கலாம். பல்லுறுப்புக் கோவை சமன்பாட்டை எழுதி P(x)=0 எனக் கொண்டு நாம் x இன் தீர்வு காணலாம். இந்த இயலை நாம் கடந்து செல்கையில் இது போன்ற பல செயல்களைச் செய்ய இருக்கிறோம். அவற்றை, நாம் எண்களைப் போன்றே செயல்படுத்த இருக்கிறோம்! இந்த இயலின் தொடக்கத்திலேயே, ஒவ்வொரு மிகை முழு எண்ணையும் ஒரு பல்லுறுப்புக் கோவையாக எழுத முடியும் எனக் கூறும்போது நாம் இதற்கான ஒரு குறிப்பை அளித்துள்ளோம்.

எண் கணிதத்தைத் தொடர்ந்து, பல்லுறுப்புக் கோவைகளைக் கூட்டுதல், ஒன்றிலிருந்து மற்றொன்றைக் கழித்தல், பல்லுறுப்புக் கோவைகளைப் பெருக்குதல், ஒன்றினை மற்றொன்றால் வகுத்தல் ஆகியவற்றை முயற்சி செய்ய உள்ளோம். பல்லுறுப்புக் கோவைகள் தொடர்பான ஆர்வமளிக்கும் பல பண்புகளைக் கற்கும்போது, எண்களுக்கும் பல்லுறுப்புக் கோவைகளுக்கும் இடையே உள்ள ஒப்புமை ஆழமானதாக மாறிவிடும். தற்போது, பல்லுறுப்புக் கோவைகளின் செயல்பாடுகளை எளிமையாக முயற்சி செய்து வரையறுப்பது வேடிக்கையானதாகவே இருக்கும்.

பல்லுறுப்புக் கோவைகளின் கூட்டல் (Addition of Polynomials)

இரண்டு பல்லுறுப்புக் கோவைகளின் கூடுதலும் மற்றொரு பல்லுறுப்புக் கோவையாகும்.

குறிப்பு

ஒத்த உறுப்புகளை மட்டுமே கூட்ட இயலும். 3x2 + 5x2 என்பது 8x2 ஆகும். ஆனால் மாறுபட்ட உறுப்புகள் 3x2 மற்றும் 5x3 ஐக் கூட்டினால் 3x2 + 5x3 என்ற ஒரு புதிய பல்லுறுப்புக் கோவை கிடைக்கும்

எடுத்துக்காட்டு 3.4

 p(x) = 4x2 − 3x + 2x3 + 5 மற்றும் q(x) = x2 + 2x + 4 எனில், p(x) + q(x) காண்க . 

தீர்வு

 p(x) + q(x) என்பதும் ஒரு பல்லுறுப்புக் கோவையே என்பதைக் காணலாம். எனவே, இரு பல்லுறுப்புக் கோவைகளின் கூடுதலும் ஒரு பல்லுறுப்புக் கோவையே.

குறிப்பு:

ஒத்த உறுப்புகளை மட்டுமே கழிக்க இயலும். 8x2 − 5x2 என்பதைக் கழித்தால் 3x2 கிடைக்கும். ஆனால் 5x3 ஐ 3x2 இல் கழிக்கக் கிடைக்கும் 3x2 −5x3 என்பது ஒரு புதிய பல்லுறுப்புக் கோவையாகும்.

பல்லுறுப்புக் கோவைகளின் கழித்தல் (Subtraction of Polynomials)

இரண்டு பல்லுறுப்புக் கோவைகளின் கழித்தல் மற்றொரு பல்லுறுப்புக் கோவையாகும்.

எடுத்துக்காட்டு 3.5

 p(x) = 4x2 – 3x + 2x3 + 5 மற்றும் q(x) = x2 + 2x + 4 எனில் p(x) – q(x) காண்க .

தீர்வு

 p(x) − q(x) என்பதும் ஒரு பல்லுறுப்புக் கோவையே என்பதைக் காணலாம். எனவே இரு பல்லுறுப்புக் கோவைகளின் வித்தியாசம் ஒரு பல்லுறுப்புக் கோவையே.

இரு பல்லுறுப்புக் கோவைகளின் பெருக்கல் (Multiplication of Two Polynomials)

 8 அலகுகள் நீளமும் 7 அலகுகள் அகலமும் உடைய ஒரு செவ்வகத்தைக் கீழ்க்கண்டவாறு 4 செவ்வகங்களாகப் பிரிக்கும் பொழுது பரப்பு மாறாமல் உள்ளதை நாம் உணர்கிறோம். இது பல்லுறுப்புக் கோவையின் பெருக்கலைப் படிக்கத் தூண்டுகோலாக அமைகிறது.

(x+1) நீளமும் (3x+2) அகலமும் கொண்ட ஒரு செவ்வகத்தின் பரப்பினைப் பின்வருமாறு கண்டறியலாம்.

எனவே செவ்வகத்தின் பரப்பளவு = 3x2 + 3x + 2x + 2 = 3x2 + 5x + 2

 x என்பது மாறி மற்றும் m, n என்பவை மிகை முழுக்கள் எனில், xm × xn = xm+n ஆகும். இரு பல்லுறுப்புக் கோவைகளின் பெருக்குத் தொகையும் ஒரு பல்லுறுப்புக் கோவையே ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 3.6

பெருக்குக : (4x − 5) மற்றும் (2x2 + 3x − 6). 

தீர்வு

 (4x−5) மற்றும் (2x2 + 3x − 6) ஐப் பெருக்குவதற்கு, முதல் பல்லுறுப்புக் கோவையின் ஒவ்வோர் உறுப்பையும் இரண்டாவது பல்லுறுப்புக் கோவையின் ஒவ்வோர் உறுப்புடன் பகிர்ந்து பெருக்குதல் வேண்டும். இந்த எடுத்துக்காட்டில் நாம் 4x மற்றும் −5 ஐப் பகிர வேண்டியது தேவையாகிறது. பிறகு ஒத்த உறுப்புகளை இணைக்க வேண்டும்.

= 8x3 + 12x2 – 24x – 10x2 − 15x + 30

= 8x3 +2x2 – 39x +30

மாற்றுமுறையாக கெழுக்களைப் பிரித்துப் பெருக்கும் முறையைப் பயன்படுத்தலாம்.

∴ (4x −5) (2x2+3x−6) = 8x3 + 2x2 − 39x + 30