விளக்கம், எடுத்துக்காட்டு, தீர்வு | இயற்கணிதம் | கணக்கு - தொகுமுறை வகுத்தலைப் பயன்படுத்திக் காரணிப்படுத்துதல் (Factorisation using Synthetic Division) | 9th Maths : UNIT 3 : Algebra
3. தொகுமுறை வகுத்தலைப் பயன்படுத்திக் காரணிப்படுத்துதல் (Factorisation using Synthetic Division)
ஒரு முப்படிக் கோவையைத் தொகுமுறை வகுத்தலின் உதவியால் எவ்வாறு ஒருபடிக் கோவைகளாகக் காரணிப்படுத்த இயலும் என்பதை இப்பகுதியில் நாம் கற்கலாம்.
கொடுக்கப்பட்ட முப்படிப் பல்லுறுப்புக் கோவை p(x) −க்கு ஒருபடிக் காரணி ஒன்றைத் தெரிந்து கொண்ட பிறகு, தொகுமுறை வகுத்தலைப் பயன்படுத்தி p(x) இன் இருபடிக் காரணியைக் காணலாம். மேலும், அந்த இருபடிக் கோவையை இயலுமெனில் ஒருபடிக் காரணிகளின் பெருக்கற்பலனாகக் காரணிப்படுத்தலாம்.
குறிப்பு:
• மாறிலிக் கோவை அல்லாத ஒரு பல்லுறுப்புக் கோவை p(x) −க்கு p(a) = 0 என இருந்தால் மட்டுமே x = a என்பது அதன் பூச்சியமாகும்.
• x−a ஆனது p(x) −க்கு ஒரு காரணி என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே p(a) = 0 ஆகும். (காரணித் தேற்றம்)
ஒரு பல்லுறுப்புக் கோவைக்கு (x − 1) மற்றும் (x + 1) ஆகியன காரணிகளாகுமா என்பதை அடையாளம் காணுதல்:
• p(x) இன் அனைத்து உறுப்புகளின் கெழுக்கள் மற்றும் மாறிலி உறுப்பின் கூடுதல் பூச்சியம் என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே p(x) −க்கு (.x−1) ஒரு காரணியாகும்.
• p(x) இன் இரட்டைப் படை அடுக்குகளில் உள்ள உறுப்புகளின் கெழுக்கள் மற்றும் மாறிலி உறுப்புகளின் கூடுதலானது ஒற்றைப்படை அடுக்குகளில் உள்ள உறுப்புகளின் கெழுக்களின் கூடுதலுக்குச் சமம் என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே (x+1) ஆனது p(x) −க்கு ஒரு காரணியாகும்.
எடுத்துக்காட்டு 3.38
(i) x3 – 7x2 + 13x − 7 −க்கு (x − 1) ஒரு காரணியாகும் என நிரூபி.
(ii) x3 + 7x2 + 13x + 7 −க்கு (x + 1) ஒரு காரணியாகும் என நிரூபி.
தீர்வு
(i) p(x) = x3 – 7x2 + 13x − 7 என்க.
கெழுக்களின் கூடுதல் = 1−7+13−7 =0
எனவே, (x − 1) என்பது p(x) இன் ஒரு காரணி.
(ii) q(x) = x3 + 7x2 + 13x +7 என்க .
இரட்டைப்படை அடுக்குகள் கொண்ட உறுப்புகளின் கெழுக்களின் கூடுதல் =7+7 = 14
ஒற்றைப்படை அடுக்குகள் கொண்ட உறுப்புகளின் கெழுக்களின் கூடுதல் = 1+ 13 = 14
எனவே, (x + 1) என்பது q(x) இன் ஒரு காரணி.
எடுத்துக்காட்டு 3.39
x3 + 13x2 + 32x + 20 ஐ நேரிய காரணிகளாகக் காரணிப்படுத்துக.
தீர்வு
p(x) = x3 + 13x2 + 32x + 20 என்க.
அனைத்து உறுப்புகளின் கெழுக்களின் கூடுதல் = 1+13+ 32 + 20 = 66 ≠ 0
எனவே, (x−1) என்பது ஒரு காரணியல்ல.
இரட்டைப்படை அடுக்கு கொண்ட உறுப்பின் கெழு மற்றும் மாறிலியின் கூடுதல் = 13 + 20 = 33
ஒற்றைப்படை அடுக்குகள் கொண்ட உறுப்புகளின் கெழுக்களின் கூடுதல் = 1 + 32 = 33
ஆகவே, (x + 1) என்பது p(x) இன் ஒரு காரணி.
மற்ற நேரிய காரணிகளைக் காணத் தொகுமுறை வகுத்தல் முறையைப் பயன்படுத்துவோம்.
எடுத்துக்காட்டு 3.40
x3 – 5x2 – 2x + 24 ஐக் காரணிப்படுத்துக.
தீர்வு
p(x) = x3 – 5x2 – 2x + 24 என்க.
x = 1 எனில் p(1) = 1−5−2+24 = 18 ≠ 0 (x − 1) ஒரு காரணியல்ல.
x = –1 எனில் p(−1) = −1−5+2+ 24 = 20 ≠ 0 (x + 1) ஒரு காரணியல்ல.
ஆகவே, மற்ற x இன் காரணிகளைக் காண முயன்று தவறிக் கற்றல் (trial and error method) முறையைப் பயன்படுத்தவும்.
x = 2 எனில்,
p(2) = 23 – 5(2)2 – 2(2) + 24
= 8 − 20 − 4 +24
= 8 ≠ 0
ஆகவே, (x−2) ஒரு காரணியல்ல
x = −2 எனில்,
p(−2) = (−2)3 − 5(−2)2 − 2(−2) + 24
= −8 – 20 + 4 + 24
p(−2) = 0
ஆகவே, (x+2) ஒரு காரணியாகும்
எனவே, (x + 2) (x – 3) (x – 4) ஆகியன காரணிகள்.
ஆகவே, x3 – 5x2 – 2x2 + 24 = (x + 2)(x − 3)(x − 4)
குறிப்பு: x2 – 7x + 12 −க்கு 3 ஆனது ஒரு பூச்சியமா என சோதிக்கும்போது, 3 ஒரு பூச்சியமில்லை எனில், −3 அல்லது 4 அல்லது, −4 ... பூச்சியமா எனச் சோதிக்க.