இருபடிப் பல்லுறுப்புக் கோவைகளைக் (மூவுறுப்புக்கோவை) காரணிப்படுத்தல் (Factorising the Quadratic Polynomial (Trinomial))

5. ax2 + bx + c, a≠0 என்ற அமைப்பில் உள்ள இருபடிப் பல்லுறுப்புக் கோவைகளைக் (மூவுறுப்புக்கோவை) காரணிப்படுத்தல் (Factorising the Quadratic Polynomial (Trinomial))

  ax2 + bx + c இன் நேரிய காரணிகள் (kx + m) மற்றும் (lx + n) என்ற அமைப்பில் இருக்கும். எனவே, ax2 + bx + c = (kx + m) (lx + n) = klx2  + (lm + kn)x + mn

x2, x இன் கெழு மற்றும் மாறிலி உறுப்புகளை இருபுறமும் ஒப்பீடு செய்யும்போது நமக்கு a = kl, b = (lm + kn) மற்றும் c = mn எனக் கிடைக்கின்றன. இதில் ac என்பது kl மற்றும் mn இன் பெருக்கற்பலன் ஆகும். இது x இன் கெழுவான lm மற்றும் kn இன் பெருக்கற்பலனுக்குச் சமம். ஆகவே, (kl × mn) = (lm × kn).

   ax2 + bx + c ஐக் காரணிப்படுத்த பின்பற்ற வேண்டிய படிகள்

படி 1: x2 இன் கெழுவை மாறிலி உறுப்புடன் பெருக்க வேண்டும். அதாவது, ac . 

படி 2: acஐ இரு எண்களாகப் பிரிக்க வேண்டும். அவ்வாறு பிரிக்கும்போது எண்களின் கூடுதல் மற்றும் பெருக்கல் முறையே b மற்றும் ac இக்குச் சமமாக இருக்க வேண்டும். 

படி 3: இவ்வெண்களை இரு சோடிகளாகப் பிரித்துக் காரணிப்படுத்த வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு 3.27

காரணிப்படுத்துக : 2x2 +15x + 27 

தீர்வு

 ax2 + bx + c உடன்

2x2 + 15x + 27 ஐ சமப்படுத்த,

a = 2, b = 15, c = 27

பெருக்கற்பலன் ac = 2 × 27 = 54 மற்றும் கூடுதல் b = 15

6, 9 என்ற காரணிகள் b = 15 மற்றும் ac = 54 என்பதை நிறைவு செய்வதைக் காண முடிகிறது. மைய உறுப்பை 6x மற்றும் 9x என மாற்றி அமைக்க. 

 2x2 + 15x + 27 = 2x2 + 6x + 9x + 27

= 2x(x + 3) + 9(x + 3) 

= (x + 3)(2x + 9) 

எனவே, 2x2 + 15x + 27 = (x + 3) (2x + 9)

எடுத்துக்காட்டு 3.28

காரணிப்படுத்துக : 2x2 − 15x + 27 

தீர்வு

 ax2 + bx + c உடன்

2x2 − 15x + 27 ஐச் சமப்படுத்த,

a = 2, b = −15, c = 27

பெருக்கற்பலன் ac = 2× 27 = 54,

 மற்றும் கூடுதல் b = −15

மைய உறுப்பை −6x மற்றும் −9x என மாற்றி அமைக்க,

 2x2 − 15x + 27 = 2x2 – 6x − 9x + 27

= 2x(x − 3) – 9(x − 3) = (x − 3)(2x – 9) 

எனவே, 2x2 −15x + 27 இன் காரணிகள் (x − 3) மற்றும் (2x − 9) ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 3.29

காரணிப்படுத்துக 2x2 + 15x − 27 

தீர்வு

 ax2 + bx +c ஐ 2x2 +15x − 27 

உடன் சமப்படுத்த,

 a = 2, b = 15, c = −27

பெருக்கற்பலன் ac = 2 × −27 =  −54,

மற்றும் கூடுதல் b = 15

மைய உறுப்பை −3x மற்றும் 18x என மாற்றி அமைக்க,

 2x2 + 15x − 27 = 2x2 + 18x – 3x – 27

= 2x(x + 9) − 3(x + 9) = (x + 9) (2x − 3) 

எனவே, 2x2 + 15x − 27 இன் காரணிகள் (x + 9) மற்றும் (2x – 3) ஆகும். 

எடுத்துக்காட்டு 3.30

காரணிப்படுத்துக : 2x2 − 15x − 27 

தீர்வு 

ax2 + bx + c ஐ 2x2 − 15x − 27

உடன் சமப்படுத்த

a = 2, b = −15, c = −27

பெருக்கற்பலன் ac = 2 × −27 = −54, 

மற்றும் கூடுதல் b = – 15

மைய உறுப்பை −18x மற்றும் 3x என மாற்றி அமைக்க,

 2x2 − 15x − 27 = 2x2 – 18x + 3x − 27

= 2x(x − 9) + 3(x − 9) = (x − 9)(2x + 3) 

எனவே, 2x2 − 15x − 27 = (x − 9) (2x + 3)

எடுத்துக்காட்டு 3.31

(x + y)2 + 9(x + y) + 20 ஐக் காரணிப்படுத்துக.

தீர்வு

x + y = p, என்க .

 p2 + 9p + 20 ஐ

 ax2 + bx + c உடன் சமப்படுத்த, 

 a = 1, b = 9, c = 20

பெருக்கற்பலன், ac = 1 × 20 = 20,

மற்றும் கூடுதல் b=9

மைய உறுப்பை 4p மற்றும் 5p என மாற்றி அமைக்க,

p2 + 9p + 20 = p2 + 4p + 5p + 20

= p(p + 4) + 5(p+4)

= (p + 4)(p+5) 

p = x + y எனப் பிரதியிட, நமக்குக் கிடைப்பது, 

 (x + y)2 + 9(x + y) + 20 = (x + y + 4)(x + y + 5)