முற்றொருமைகளைப் பயன்படுத்திக் காரணிப்படுத்துதல் (Factorisation using Identity)

4. முற்றொருமைகளைப் பயன்படுத்திக் காரணிப்படுத்துதல் (Factorisation using Identity)

(i) a2 + 2ab + b2 ≡ (a + b)2 

(ii) a2 − 2ab + b2 ≡ (a − b)2 

(iii) a2 − b2 ≡ (a + b)(a−b) 

(iv) a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc +2ca ≡ (a + b+c)2 

(v) a3 + b3 ≡ (a + b)(a2 − ab + b2) 

(vi) a3 – b3 ≡ (a − b)(a2 + ab + b2) 

(vii) a3 +b3+c3 − 3abc ≡ (a + b+c)(a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca)

குறிப்பு

 • (a + b)2 + (a − b)2 = 2(a2 + b2); 

• a4  − b4 = (a2 + b2)(a + b)(a − b) 

• (a + b)2 – (a − b)2 = 4ab ; 

• a6 −b6 = (a + b)(a−b)(a2 − ab + b2) (a2 + ab + b2)

முன்னேற்றத்தைச் சோதித்தல்

எடுத்துக்காட்டு 3.25

காரணிப்படுத்துக. 

(i) 9x2 + 12xy + 4y2 

(ii) 25a2 − 10a + 1 

(iii) 36m2 – 49n2

(iv) x3 − x 

(v) x4 −16 

(vi) x2 + 4y2 + 9z2 – 4xy + 12yz – 6xz 

தீர்வு

(i) 9x2 + 12xy + 4y2 = (3x)2 + 2(3x)(2y) + (2y)2

= (3x +2y)2             [ஏனெனில் a2 +2ab + b2 = (a + b)2]

(ii) 25a2 − 10a + 1 = (5a)2 − 2(5a) (1) +12

= (5a − 1)2 [ஏனெனில் a2 −2ab + b2 = (a − b)2]

(iii) 36m2 – 49n2 = (6m)2 − (7n)2

= (6m +7n) (6m − 7n) [ஏனெனில் a2 − b2 = (a+b)(a−b) ]

(iv) x2 − x = x(x2 −1)

= x(x2 −12)

= x(x + 1) (x −1) 

(v) x4 − 16 = x4 − 24

[ஏனெனில் a4 − b4 = (a2 + b2)(a + b)(a − b)]

 = (x2 + 22) (x2 − 22)

= (x2 + 4) (x + 2) (x −2)

(vi) x2 + 4y2 + 9z2 – 4xy + 12yz − 6xz

= (−x)2 + (2y)2 + (3z)2 + 2(−x) (2y) + 2(2y)(3z) + 2(3z)(−x) 

= (−x + 2y + 3z)2 (அல்லது) (x −2y− 3z)2

சிந்தனைக் களம் 

பின்வருபவை 15ஆல் வகுபடுமா எனச் சோதிக்க.

 (i) 20173 + 20183

 (ii) 20183 − 19733 

எடுத்துக்காட்டு 3.26

பின்வருவனவற்றைக் காரணிப்படுத்துக.

 (i) 27x3 + 125y3 

 (ii) 216m3 – 343n3 

 (iii) 2x4 – 16xy3 

 (iv) 8x3 + 27y3 + 64z3 – 72xyz

தீர்வு

(i) 27x3 + 125y3 = (3x)3 + (5y)3 

= (3x + 5y) ( (3x)2 − (3x) (5y) + (5y)2 )      [ ஏனெனில் (a3 + b3) = (a + b)(a2 − ab + b2)]

= (3x + 5y) (9x2 – 15xy + 25y2)

(ii) 216m3 − 343n3 = (6m)3 − (7n)3         [ஏனெனில் (a3 − b3) = (a − b)(a2 + ab +b2)]

= (6m – 7n) ((6m)2 + (6m)(7n) + (7n)2)

= (6m − 7n) (36m2 + 42mn + 49n2)

(iii) 2x4 − 16xy3 = 2x(x3 − 8y3)

= 2x (x3 − (2y)3)                  [ஏனெனில் (a3 – b3) = (a − b)(a2 + ab + b2)]

 = 2x ((x − 2y)(x2 + (x) (2y) + (2y)2))

= 2x(x − 2y) (x2 + 2xy + 4y2) 

(iv) 8x3 + 27y3 + 64z3 – 72xyz

= (2x)3 + (3y)3 + (4z)3 – 3(2x)(3y)(4z)

= (2x + 3y + 4z) (4x2 + 9y2 +16z2 – 6xy −12yz − 8xz)