இயற்கணிதம்

அலகு 3

இயற்கணிதம்

இயற்கணிதத்தைப் போல் வேறெதுவும் நடைமுறை வாழ்க்கையோடு தொடர்புடையது இல்லை என உறுதியாகக் கூற முடியும். 

− பிரான் லேபோவிச்

அலெக்ஸாண்டிரியாவின் டையோபான்டஸ் (Diophantus) 84 ஆண்டுகள் வாழ்ந்த கணித மேதையாவார். இவர் கி.பி.(பொ.ஆ) 201 இக்கும் கி.பி. (பொ.ஆ) 215 இக்கும் இடையில் பிறந்தவர். இவர் இயற்கணிதவியல் என்ற தொடர் புத்தகத்தின் ஆசிரியர் ஆவார். இவரது புத்தகங்கள் இயற்கணிதச் சமன்பாடுகளின் தீர்வு பற்றி அமைந்தனவாகும். மேலும் இயற்கணிதத்தின் தந்தை எனவும் அழைக்கப்படுகிறார்.

டையோபான்டஸ்

கற்றல் விளைவுகள் 

• பல்லுறுப்புக் கோவைகளை வகைப்படுத்துதலைப் புரிந்துகொள்ளுதல் மற்றும் அடிப்படைச் செயல்பாடுகளைச் செய்யும் திறனடைதல்.

• பல்லுறுப்புக் கோவைகளின் மதிப்புகளைக் காணல் மற்றும் பல்லுறுப்புக் கோவைகளின் பூச்சியங்களைப் புரிந்துகொள்ளுதல்.

• மீதித் தேற்றம் மற்றும் காரணித் தேற்றத்தைப் புரிந்துகொள்ளுதல். 

• இயற்கணித முற்றொருமைகளைப் பயன்படுத்திக் காரணிப்படுத்துதல்.

• இருபடி மற்றும் முப்படி பல்லுறுப்புக் கோவையைக் காரணிப்படுத்துதல்.

• தொகுமுறை வகுத்தல் முறையில் ஒரு பல்லுறுப்புக் கோவையைக் காரணிப்படுத்துதல்.

• பல்லுறுப்புக் கோவைகளுக்கு மீப்பெரு பொது வகுத்தி காணுதல்.

• கொடுக்கப்பட்டுள்ள நேரிய சமன்பாடுகளுக்கு வரைபடம் வரைதல்.

• இரு மாறிகளில் அமைந்த ஒருங்கமைந்த நேரிய சமன்பாடுகளை வரைபட முறை, இயற்கணித முறைகளில் தீர்த்தல்.

• இரு மாறிகளில் அமைந்த நேரிய சமன்பாடுகளின் ஒருங்கமைவு மற்றும் ஒருங்கமைவற்ற தன்மைகளைப் புரிந்துகொள்ளுதல்.

அறிமுகம்

பல்லுறுப்புக் கோவைகளை ஏன் கற்க வேண்டும்?

இயற்கணிதத்தில் உள்ள பல்லுறுப்புக் கோவைகளைப் பற்றிய அனைத்தையும் இந்த இயல் உள்ளடக்கியது. இதில் உள்ளவை நீங்கள் முன்னரே சந்தித்த, ஆனால் முழுமையாக அறிமுகப்படுத்தப்படாத நண்பர்களே! இதற்குப் பிறகு வரும் அனைத்துக் கணிதப் பயணத்திலும், இவர்கள் உங்கள் நண்பர்களாகப் பயணிக்கத்தக்க வகையில் இவர்களை நாங்கள், உங்களுக்கு முழுமையாக அறிமுகப்படுத்த உள்ளோம்.

 (a+1)2 = a2 + 2a + 1 

இது ஒரு பல்லுறுப்புக் கோவை. பார்ப்பதற்குச் சிறப்பு வாய்ந்ததாகத் தோன்றவில்லை. இல்லையா? நாம் முன்பே நிறைய இயற்கணிதக் கோவைகளைப் பார்த்திருக்கிறோம். எனவே, ஏன் இவற்றைப் பற்றிக் கவலைப்பட வேண்டும்? கணிதத்தில், பல்லுறுப்புக் கோவைகள் ஏன் முக்கியத்துவம் வாய்ந்தவை என்பதற்குப் பல காரணங்கள் உள்ளன.

இப்போது, அவற்றின் பயன்பாட்டை அறிய ஓர் எடுத்துக்காட்டைக் காண்போம். நாம் எண் கணிதத்தில் நிறையக் கற்று, அதன்பின் இயற்கணிதத்தில் தெரியாத எண்களைக் கொண்ட மாறிகள் பற்றிச் சிந்தித்தோம் என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள்.

உண்மையில், நாம் இப்போது எண்களிடம் திரும்பச் சென்று, இயற்கணித மொழியில் அவற்றை எழுத முயல்வோம்.

5418 என்ற ஓர் எண்ணைக் கவனியுங்கள். இது உண்மையில் “5” ஆயிரம் “4” நூறு “1” பத்து மற்றும் “8” ஒன்றுகள்.

இதைக் பின்வருமாறு எழுதலாம்

 5 × 1000 + 4 × 100 + 1 × 10 + 8 

மேலும், இதனை 

 5 × 103 + 4 × 102 + 1 × 101 + 8 என்றவாறும் எழுதலாம்:

இது 5x3 + 4x2 + x + 8 என்ற வடிவத்தில் உள்ள ஒரு பல்லுறுப்புக் கோவை என்பது தெளிவு. இந்த வடிவத்தில் எழுதுவது எவ்வாறு பயனளிக்கும்? நாம் எப்போதும் எண்களைத் தசமத்தில் எழுதுகிறோம்தானே. ஆகையால் எப்போதும் x = 10. பின் இதில் என்ன வேடிக்கை? வகுத்தல் விதிகள் நினைவுள்ளதா? ஓர் எண்ணின் இலக்கங்களின் கூடுதல் 3 ஆல் வகுபட்டால் மட்டுமே, அந்த எண் 3 ஆல் வகுபடும் என்பதை நினைவு கொள்ளுங்கள். x என்பதை 3 ஆல் வகுத்த பிறகு மீதி 1 வருகிறதெனில், x2, x3, போன்றவற்றிற்கும் இது பொருந்தும் என்பதைக் கவனியுங்கள். இவை எல்லாம் 3 ஆல் வகுபட்ட பிறகு, 1 ஐ மீதியாகத் தருகின்றன. எனவே ஒவ்வோர் இலக்கத்தையும் 1 ஆல் பெருக்கி அவை அனைத்தையும் கூட்டினால், மொத்த இலக்கங்களின் கூடுதலை நீங்கள் பெறுகிறீர்கள். அது 3 ஆல் வகுபடும் எனில், மொத்த எண்ணிற்கும் அதேதான். 9 ஆல் வகுபடும் விதி, 2 அல்லது 5 ஆல் வகுபடும் விதி போன்றவற்றையும் இதேபோல எளிதாக மெய்பிக்க இயலும்.

நமது நோக்கம் வகுத்தல் விதிகளை நிரூபிப்பது அல்ல. ஆனால் எண்களைப் பல்லுறுப்புக் கோவையாகக் குறிப்பிடும்போது அவை பல புதிய எண் அமைப்புகளை நமக்கு அளிக்கின்றன என்பதை வெளிப்படுத்துவதே ஆகும். சொல்லப் போனால் எண்கள் மட்டுமல்லாமல் பலவகை பொருட்களைப் பல்லுறுப்புக் கோவையாகக் குறிப்பிடும்போது, அவற்றிலிருந்து நாம் பலவற்றைக் கற்றுக்கொள்ள இயலும்.

இயற்கணிதத்தில் x2, 5x2 − 3,  2x+7 போன்றவற்றை x இன் சார்புகளாக நாம் உணரலாம். x மாறும்போது, சார்புகள் எவ்வாறு மாறுகின்றன என்பதைக் காண்பதற்கு நாம் ஒரு வரைபடம் வரைந்தால், அது சார்புகளின் செயல்பாட்டைப் புரிந்து கொள்ள மிகவும் உதவியாக இருக்கும். இப்போது அறிவியல், பொறியியல், வணிக ஆய்வுகள், பொருளாதாரம் மட்டுமல்லாமல் கணிதத்திலும் கூட நாம் சந்திக்கும் நல்ல பல சார்புகள் முழுவதுமாகப் பல்லுறுப்புக் கோவையைப் பிரதிபலிக்காவிடினும், அவை தோராயமாகப் பல்லுறுப்புக் கோவைகள் அமைகின்றன. உண்மையில், பல்லுறுப்புக் கோவைகளின் தோராயமான சார்புகள் உயர் கணிதத்தின் அடிப்படைக் கருப்பொருளாகப் பயன்படுகின்றன. மேலும் இதே கருத்தின் அடிப்படையில் செயல்பட்டு பலர் தங்கள் வாழ்வியல் முறையை எளிதாக்குகின்றனர்.

உயிரியல், கணினி அறிவியல், தொடர்பு அமைப்புகள் போன்றவற்றில் பல்லுறுப்புக் கோவைகள் மிகப் பரவலாகப் பயன்படுத்தப் படுகின்றன. இப்பட்டியல் தொடர்ந்துகொண்டே செல்கிறது. கொடுக்கப்பட்ட படங்கள் (படம் 3.1, 3.2, மற்றும் 3.3) ஓர் இருபடி பல்லுறுப்புக் கோவையைக் குறிக்கலாம். நாம், பல்லுறுப்புக் கோவைகள் என்ன என்பதை மட்டும் கற்றுக்கொள்ளப் போவதில்லை. அதற்கு மேலும் எண்களைப் பயன்படுத்தி எவ்வாறு கூட்டல், பெருக்கல், வகுத்தல் போன்றவற்றை கற்றுள்ளோமோ அதே போல் பல்லுறுப்புக் கோவைகளிலும் கற்றுக்கொள்ள இருக்கிறோம்.

கொடுக்கப்பட்ட படங்களைக் கவனியுங்கள்

மேலே உள்ள 3 படங்களின் மொத்தப் பரப்பளவு 4x2 + 2xy + y2, இந்தக் கோவையை நாம் இயற்கணிதக் கோவை என்று அழைக்கிறோம். இங்கே x மற்றும் y − க்கு வெவ்வேறான மதிப்புகள் அளிக்கும் போது வெவ்வேறு பரப்பளவு மதிப்புகளைப் பெறுகிறோம். x மற்றும் y பக்கங்களின் மதிப்புகள் மாறக்கூடியதாக உள்ளதால், அவை மாறிகள் என அழைக்கப்படுகின்றன. எனவே மாறி என்பது வெவ்வேறு எண் மதிப்புகளைக் கொண்ட குறியீடு ஆகும்.

வழக்கமாக மாறிகள் x, y, z போன்ற எழுத்துகளால் குறிப்பிடப்படுகின்றன. மேற்கண்ட இயற்கணிதக் கோவையில் உள்ள 4, 2 என்பவை மாறிலிகள் என அழைக்கப்படுகின்றன. எனவே மாறிலி என்பது நிலையான எண் மதிப்பு கொண்ட குறியீடு ஆகும்.

மாறிலிகள் (Constants)

எந்த மெய்யெண்ணும் மாறிலியே. மாறிலிகள் மற்றும் எண்கணிதச் செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி எண் கோவைகளை அமைக்கலாம்.

மாறிலிகளுக்கு எடுத்துக்காட்டுகள் 1, 5, −32, 3/7, −√2, 8.432, 1000000 இன்னும் பிற. 

மாறிகள் (Variables)

கோவைகளில் மாறிகள் மற்றும் மாறிலிகளை இணைத்துப் பயன்படுத்தும்போது, ஒரு வரம்பிற்கு உட்பட்ட எண்களைக் குறிக்கும் வழிகளில் ஒவ்வொரு மாறிக்கும் ஒரு மதிப்பைப் பெறுகிறோம். நாம் அறிந்த 2πr ஆனது ஆரம் r உடைய வட்டத்தின் சுற்றளவைக் குறிக்கின்றது. நாம் r இன் மதிப்பை 1 செமீ, 4 செமீ, 9 செமீ ... என மாற்றினால் 2π, 8π, 18π .... என்ற சுற்றளவுகள் கொண்ட பெரிய வட்டங்கள் நமக்குக் கிடைக்கும்.

இந்த 2πr கோவையானது அனைத்து வட்டங்களின் சுற்றளவுகளுக்குமான சிறிய மற்றும் துல்லியமான விளக்கமாகும். நாம் எண்கணிதச் செயல்கள் மற்றும் இயற்கணிதக் கோவைகளை இணைத்துப் பயன்படுத்தும்போது, சார்புகள் மற்றும் எண்கள் என்ற உயர்தர மொழியைப் பெறுகிறோம். மாறிகள் என அழைக்கப்படும் தெரியாத மெய்யெண்களைக் குறிக்க x,y,a,b மற்றும் பல எழுத்துக்களைப் பயன்படுத்துகிறோம்.

இயற்கணிதக் கோவை (Algebraic Expression)

இயற்கணிதக் கோவை என்பது நான்கு அடிப்படைக் கணிதக் குறியீடுகளின் உதவியுடன் மாறி மற்றும் மாறிலிகளால் இணைக்கப்பட்டு அமையும் கோவை ஆகும். 

இயற்கணிதக் கோவைக்கு எடுத்துக்காட்டுகள்

 x3 – 4x2 + 8x – 1, 4xy2 + 3x2y – 5/4 xy + 9, 5x2 – 7x + 6

கெழுக்கள் (Coefficients)

ஒரு பல்லுறுப்புக் கோவையில் ஒவ்வொரு உறுப்பிலும் உள்ள மாறிகளின் பெருக்கல் காரணியே அதன் கெழு எனப்படும். 

எடுத்துக்காட்டாக,

x2 + 5x − 24 என்பது மூன்று உறுப்புகளைக் கொண்ட இயற்கணிதக் கோவையாகும். இங்கு x என்பது ஒரு மாறி. x2 இன் கெழு 1 மற்றும் x இன் கெழு 5 ஆகும். மேலும் −24 மாறிலி ஆகும் (24 அல்ல).

செயல்பாடு 1

கீழ்க்காணும் கோவைகளை மாறி, கெழு மற்றும் மாறிலிகளாகப் பிரித்து எழுதுக.