வரைபட முறையின் மூலம் தீர்வு காணுதல் (Solving by Graphical Method)

வரைபட முறையின் மூலம் தீர்வு காணுதல் (Solving by Graphical Method)

இரு மாறிகளில் அமைந்த ஒருபடிச் சமன்பாட்டை எவ்வாறு வரைபடம் வரைந்து விளக்கலாம் என்பதை முன்னரே கண்டுள்ளோம். இங்கு நாம் இரு மாறிகளில் அமைந்த இரு நேரிய சமன்பாடுளின் வரைபடம் வரைந்து அதன் மூலம் ஒருங்கமைந்த நேரிய சமன்பாடுகளுக்கான தீர்வை காண முடியும் என்பதைப் பற்றிக் கற்கப்போகிறோம்.

எடுத்துக்காட்டு 3.44

ஒருங்கமைந்த நேரிய சமன்பாடுகளுக்கு வரைபடம் மூலம் தீர்வு காண்க. x + y = 5; 2x − y = 4. 

தீர்வு

கொடுக்கப்பட்டவை

 x + y = 5          ... (1)

2x − y = 4          ... (2)

 சமன்பாடு (1) இக்கு வரைபடம் வரைதல் எளிது.

முதற்கோட்டின் மீதுள்ள இரண்டு புள்ளிகளின் x மற்றும் y மதிப்புகளை பின்வருமாறு காணலாம்.

x = 0 எனில், (1) இலிருந்து y = 5 எனக் கிடைக்கும். எனவே, A (0,5) என்பது கோட்டின் மீதுள்ள ஒரு புள்ளியாகும்.

 y = 0 எனில், (1) இலிருந்து x = 5 எனக் கிடைக்கும். எனவே, B(5,0) என்பது கோட்டின் மீதுள்ள மற்றொரு புள்ளியாகும். 

வரைபடத்தில் A மற்றும் B ஆகிய இரண்டு புள்ளிகளைக் குறித்து அவற்றை இணைத்துக் கோடு (1) வரைக.

இதே முறையைப் பயன்படுத்திச் சமன்பாடு (2) இக்கும் வரைபடம் வரையலாம்.

 x = 0 எனில், (2) இலிருந்து y = −4 எனக் கிடைக்கும்.

எனவே (0,−4) என்பது கோட்டின் மீதுள்ள ஒரு புள்ளி. 

y = 0 எனில், (2) இலிருந்து x = 2 எனக் கிடைக்கும். எனவே Q(2,0) என்பது அந்தக் கோட்டின் மீதுள்ள மற்றொரு புள்ளி ஆகும்.

குறிப்பு: கிடைக்கப்பெற்ற தீர்வானது இரண்டு சமன்பாடுகளுக்கும் தீர்வாக அமைகிறதா (நிறைவு செய்கிறதா) என்று சரிபார்த்தல் நலம்.

வரைபடத்தில் P மற்றும் Q ஆகிய புள்ளிகளைக் குறித்து இரண்டு புள்ளிகளையும் இணைத்துக் கோடு (2) வரைக.

இந்த இரு கோடுகளும் ஒன்றையொன்று வெட்டிக்கொள்ளும் புள்ளியான (3,2) என்பது சமன்பாடுகள் (1) மற்றும் (2) இன் தீர்வாகும். இரு கோடுகளுக்கும் ஒரே ஒரு புள்ளி தீர்வாக அமைகிறது. ஆகவே, தீர்வு x = 3, y = 2 ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 3.45

ஒருங்கமைந்த நேரிய சமன்பாடுகளுக்கு வரைபடம் மூலம் தீர்வு காண்க 3x + 2y = 6; 6x + 4y = 8 

தீர்வு

ஒவ்வொரு கோட்டிற்கும் அட்டவணை தயாரித்து வரிசைச் சோடிப் புள்ளிகளைக் குறிக்கவும்.

3x + 2y = 6 இன் வரைபடம்

குறிக்கவேண்டிய புள்ளிகள்: (−2,6), (0,3), (2,0)

6x + 4y = 8 இன் வரைபடம்

குறிக்கவேண்டிய புள்ளிகள் : (−2,5), (0,2), (2,−1)

இரண்டு சமன்பாடுகளுக்கும் வரைபடம் வரைந்தால், இரண்டும் ஒன்றுக்கொன்று இணையாக அமைந்து நமக்கு வெட்டும் புள்ளியைக் கொடுக்காததைக் காணலாம். இதன் மூலமாக இரண்டு சமன்பாடுகளுக்கும் பொதுவான வெட்டும்புள்ளி தீர்வாக அமையாததைக் காணலாம். எனவே, இச்சமன்பாடுகளுக்குத் தீர்வு கிடையாது.

எடுத்துக்காட்டு 3.46

ஒருங்கமைந்த நேரிய சமன்பாடுகளுக்கு வரைபடம் மூலம் தீர்வு காண்க  y = 2x + 1; −4x + 2y = 2 

தீர்வு

ஒவ்வொரு கோட்டிற்கும் அட்டவணை தயாரித்து வரிசைச் சோடிப் புள்ளிகளைக் குறிக்கவும்.

 y = 2x + 1 இன் வரைபடம்

குறிக்கவேண்டிய புள்ளிகள் : (−2, −3), (−1, −1), (0,1), (1,3), (2, 5) 

 − 4x + 2y = 2 இன் வரைபடம்

 2y = 4x + 2

 y = 2x + 1 

குறிக்கவேண்டிய புள்ளிகள் : (−2, −3), (−1, −1), (0, 1), (1, 3), (2, 5)

இங்கு, இரு சமன்பாடுகளும் ஒன்றே; ஆனால் இரண்டும் வெவ்வேறு வடிவில் அமைந்துள்ளன. சமன்பாடுகள் இரண்டும் ஒன்றே என்பதால் தீர்வுகளும் ஒரே மாதிரியானவை. இங்கு ஒரு கோட்டின் மீதமைந்த அனைத்துப் புள்ளிகளும் மற்றொரு கோட்டின் மீதே உள்ளன.

எனவே, இங்கு கோட்டின் மீது அமைந்துள்ள அனைத்து வரிசைச் சோடிப் புள்ளிகளும் எண்ணற்ற தீர்வுகளாக அமைகின்றன.

எடுத்துக்காட்டு 3.47

 ஒரு செவ்வகத்தின் சுற்றளவு 36 மீட்டர் மற்றும் நீளமானது அகலத்தின் மூன்று மடங்கை விட 2 மீட்டர் அதிகமெனில், செவ்வகத்தின் பக்க அளவுகளை வரைப்பட முறையைப் பயன்படுத்திக் காண்க. 

தீர்வு

 கொடுக்கப்பட்ட கூற்றுகளுக்கு நாம் சமன்பாடுகளை அமைப்போம்.

 செவ்வகத்தின் நீளம் மற்றும் அகலத்தை முறையே l மற்றும் b என்க.

முதல் கூற்றுக்குச் சமன்பாடு அமைத்தல்

செவ்வகத்தின் சுற்றளவு = 36 மீ

2(l + b) = 36

 l+b= 36/2

 l = 18−b         ……… (1)

 புள்ளிகள்: (2,16), (4,14), (5,13), (8,10) இரண்டாவது கூற்றுக்குச் சமன்பாடு அமைத்தல் :

இரண்டாவது கூற்றின்படி, நீளமானது அகலத்தின் மூன்று மடங்கை விட 2 மீ அதிகம் எனவே l = 3b+2        .... (2)

சமன்பாடு (2) இக்கு அட்டவணை அமைப்போம்

புள்ளிகள் : (2,8), (4,14), (5,17), (8,26)

இரண்டு கோடுகளுக்கும் பொதுவான ஒரு புள்ளியே தீர்வாக அமையும். இங்கு (4,14) என்பதே தீர்வாக இருப்பதைக் காணலாம். எனவே தீர்வானது b = 4, l = 14.

சரிபார்த்தல் :

2(l+b) = 36           …………(1)

2(14+4) = 36 

2 × 18 = 36

36 = 36 மெய்

l = 3b + 2            …………(2)

14 = 3(4) +2 

14 = 12 + 2

14 = 14 மெய்