பல்லுறுப்புக் கோவையின் மதிப்பு மற்றும் பூச்சியங்கள் (Value and Zeros of a Polynomial)

2. பல்லுறுப்புக் கோவையின் மதிப்பு மற்றும் பூச்சியங்கள் (Value and Zeros of a Polynomial)

 கீழ்க்காணும் இரு வரைபடங்களைப் பார்க்கவும். முதலாவது ஒருபடி மற்றும் இரண்டாவது இருபடி ஆகும். முதல் வரைபடம் x அச்சை (x = −3) ஒரு புள்ளியில் வெட்டுகிறது. மற்றும் இரண்டாம் வரைபடம் (x = −1 மற்றும் x = 2) இரு புள்ளிகளில் வெட்டுகிறது. அவை இரண்டும் y அச்சை ஒரு புள்ளியில் மட்டுமே வெட்டுகின்றன. பொதுவாக, ஒவ்வொரு பல்லுறுப்புக் கோவைக்கும் ஒரு வரைபடம் உண்டு. அந்த வரைபடத்தைப் படமாகக் காட்டலாம். (நமக்குச் சூத்திரங்களை விடப் படங்கள் பிடிக்குமல்லவா?) வரைபடங்கள். அது ஒரு நேர்க்கோடா?, வளைவரையா? அதன் வடிவம் என்ன? எத்தனை இடங்களில் x அச்சை வெட்டுகின்றன? போன்ற பயனுள்ள பல தகவல்களைக் கொண்டுள்ளன.

பொதுவாக, x = a எனில், பல்லுறுப்புக் கோவை p(x) இன் மதிப்பு p(a) எனக் குறிக்கப்படும். p(x) இல் x இன் மதிப்பிற்குப் பதிலாக, a எனப் பிரதியிட, p(a) கிடைக்கும். இங்கு, a ஒரு மெய்யெண்.

x இன் பல மதிப்புகளுக்கு p(x) இன் மதிப்பு பூச்சியம் ஆகலாம் என்பதைக் கவனிக்க (படத்தில் உள்ளது போல). x இன் எத்தனை மதிப்புகளுக்கு மற்றும் எந்த மதிப்புகளுக்கு p(x) பூச்சியம் ஆகும்? என்று ஆர்வமாகக் கேட்கத் தோன்றும். x இன் அந்த மதிப்புகளையே பல்லுறுப்புக் கோவை p(x) இன் பூச்சியங்கள் என்போம்.

பல்லுறுப்புக் கோவையின் மதிப்புகள் என்பன வரைபடத்தில் நாம் குறிக்கும் மதிப்புகளே என்பதை நாம் காணலாம். மேலும், நாம் குறிக்கும் புள்ளிகள் x அச்சை வெட்டும்போது பல்லுறுப்புக் கோவை பூச்சியம் ஆவதை எளிதாகக் காணலாம்.

குறிப்பு: ஒரு பல்லுறுப்புக் கோவையின் பூச்சியங்களின் எண்ணிக்கை ≤ பல்லுறுப்புக் கோவையின் படி.

நேர்க்கோடு அல்லது வளைவரையானது x அச்சை வெட்டும் புள்ளிகளைப் பொருத்தே அதன் பூச்சியங்களின் எண்ணிக்கை அமையும்

படம் 3.7 இல் பூச்சியங்களின் எண்ணிக்கை 1

படம் 3.8 இல் பூச்சியங்களின் எண்ணிக்கை 2

பல்லுறுப்புக் கோவையின் மதிப்பு (Value of a Polynomial)

p(x) என்ற பல்லுறுப்புக் கோவையில் x = a எனப் பிரதியிட அதன் மதிப்பு p(a) எனக் கிடைக்கும். இது x ஐ a என மாற்றுவதால் கிடைக்கும் (a ∈ R)

எடுத்துக்காட்டாக,

f(x) = x2 + 3x – 1 என்ற பல்லுறுப்புக் கோவையில்

x = 2 எனும்போது

 f(x) இன் மதிப்பு f(2) = 22+3(2)−1 = 4+6−1 = 9.

பல்லுறுப்புக் கோவையின் பூச்சியங்கள் (Zeros of Polynomial)

(i) p(x) = 4x3 −6x2 + 3x −14 என்ற பல்லுறுப்புக் கோவையை எடுத்துக் கொள்வோம்

இதில் x இடத்தில் 1 ஐப் பிரதியிட p(1) = 4(1)3 − 6(1)2 + 3(1) − 14

= 4 − 6 + 3 − 14 = −13

எனவே x = 1 எனில் p(x) இன் மதிப்பு −13 எனலாம்.

 x = 0 எனும் போது

p(0) = 4(0)3 − 6(0)2 + 3(0) −14

= 0 − 0 + 0 − 14 = −14

எனவே x = 0 எனில் p(x) இன் மதிப்பு −14 ஆகும்.

(ii) x = 2 என p(x) இல் பிரதியிட 

 p(2) = 4(2)3 − 6(2)2 + 3(2) − 14

= 32 − 24 + 6 − 14 = 0

 x = 2 எனும்போது p(x) இன் மதிப்பு 0 ஆகும். எனவே நாம் 2 ஐ p(x) = 4x3 −6x2 + 3x −14 இன் பூச்சியங்களில் ஒன்று எனக் கூறுகிறோம். 

பல்லுறுப்புக் கோவைச் சமன்பாட்டின் மூலங்கள் (Roots of a Polynomial Equation)

பொதுவாக, p(a) = 0 எனில், a என்பது p(x) என்ற பல்லுறுப்புக் கோவையின் ஒரு பூச்சியமாகும். அல்லது a என்பது p(x) = 0 என்ற பல்லுறுப்புக் கோவைச் சமன்பாட்டின் ஒரு மூலம் எனப்படும். 

எடுத்துக்காட்டு 3.7

 f(x) = x2 – 4x + 3 எனில், f(1), f(−1), f(2), f(3). ஆகியவற்றின் மதிப்புகளைக் காண்க. மேலும் f(x) இன் பூச்சியங்களைக் காண்க.

தீர்வு :

 f(x) = x2− 4x + 3

 x = 1 மற்றும் x = 3 எனும்போது பல்லுறுப்புக் கோவை f(x) இன் மதிப்பு பூச்சியமாகும், பல்லுறுப்புக் கோவை f(x) இன் பூச்சியங்கள் 1 மற்றும் 3 ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 3.8

பின்வரும் பல்லுறுப்புக் கோவைகளின் பூச்சியங்களைக் காண்க. 

(i) f(x) = 2x + 1 (ii) f(x) = 3x − 5

தீர்வு

 (i) கொடுக்கப்பட்டது f(x) = 2x + 1 = 2( x + 1/2 ) = 2( x − (− 1/2 ) ) 

f( − 1/2) = 2 [ − 1/2 − (−1/2) ] = 2(0) = 0 

எனவே, f(− ½ ) = 0, x = − 1/2 என்பது f(x) இன் பூச்சியமாகும். 

(ii) கொடுக்கப்பட்டது f(x) = 3x − 5 = 3( x – 5/3 )

 f(5/3) = 3( 5/3 – 5/3) = 3(0) = 0 

எனவே, x = 5/3 என்பது f(x) இன் பூச்சியமாகும்.

எடுத்துக்காட்டு 3.9

பின்வரும் பல்லுறுப்புக் கோவைச் சமன்பாட்டின் மூலங்களைக் காண்க.

(i) 5x − 3 = 0 (ii) −7 −4x = 0

தீர்வு

(i) 5x − 3 = 0

5x = 3

x = 3/5

(ii) −7 − 4x = 0

4x = − 7

 x = (−7) / 4 = − (7/4)

குறிப்பு

• ஒருபல்லுறுப்புக் கோவையின் பூச்சியம் என்பது பூச்சியமாக மட்டுமே இருக்க வேண்டியதில்லை எந்த மெய்யெண்ணாகவும் இருக்கலாம்.

• ஒரு பூச்சியமற்ற மாறிலிப் பல்லுறுப்புக் கோவைக்கு பூச்சியங்கள் இல்லை.

• பூச்சியப் பல்லுறுப்புக் கோவையில் அனைத்து மெய்யெண்களும் பூச்சியங்கள் ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 3.10

x2 − 9 என்ற பல்லுறுப்புக் கோவைக்கு −3 மற்றும் 3 என்பன பூச்சியங்களா என்று சரிபார்க்கவும்? 

தீர்வு

 f(x) = x2 – 9

f(−3) = (−3)2 − 9 = 9−9 = 0

f(+3) = 32 − 9 = 9 − 9 = 0 

ஆகவே, −3 மற்றும் 3 என்பன x2 − 9 என்ற பல்லுறுப்புக் கோவையின் பூச்சியங்கள் ஆகும்.