குறுக்குப் பெருக்கல் முறையில் தீர்வு காணுதல் (Solving by Cross Multiplication Method)

குறுக்குப் பெருக்கல் முறையில் தீர்வு காணுதல் (Solving by Cross Multiplication Method)

பிரதியிடல் மற்றும் நீக்கல் முறைகளானது பல்வேறு கணிதச் செயல்களை உள்ளடக்கியது. ஆனால் குறுக்குப் பெருக்கல் முறையானது கெழுக்களைச் சீரிய முறையில் பயன்படுத்தி வழிமுறையை எளிமையாக்கித் தீர்வினைப் பெற வழி செய்கிறது. இந்த முறையில் எண்களுக்கு இடையில் குறுக்குக் கோடுகள் அமைத்துப் பெருக்குவதால் இது குறுக்குப் பெருக்கல் முறை என்று அழைக்கப்படுகிறது. இந்த முறையைப் பின்வருமாறு விவாதிப்போம்.

நமக்கு என்றவாறு அமைந்த ஒரு சோடி நேரிய ஒருங்கமைவுச் சமன்பாடுகள் பின்வருமாறு கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.

 a1x + b1y + c1 = 0             ....(1)

 a2x + b2y + c2 = 0             ....(2)

நாம் அவற்றைப் பின்வருமாறு தீர்க்கலாம் : 

(1) × b2 − (2) × b1 என்பதிலிருந்து b2(a1x+b1y+c1) − b1(a2x+b2y+c2) = 0

⇒ x(a1b2 − a2b1) = (b1c2 − b2c1)

⇒ x = (b1c2 − b2c1) / (a1b2 − a2b1)

(1) × a2 − (2) × a1 என்பதிலிருந்து

y = (c1a2 − c2a1) / (a1b2 − a2b1)

எனப் பெறலாம்.

ஆகவே தொகுப்பின் தீர்வானது

இதைப் பின்வருமாறும் எழுதலாம்

இதனைப் பின்வருமாறு நினைவில் கொள்ளலாம்

எடுத்துக்காட்டு 3.52

குறுக்குப் பெருக்கல் முறையைப் பயன்படுத்தித் தீர்வு காண்க: 3x−4y=10 மற்றும் 4x +3y =5 

தீர்வு

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடுகளின் தொகுப்பு

3x − 4y = 10 ⇒ 3x − 4y−10 = 0 ...... (1)

4x + 3y = 5  ⇒ 4x +3y −5= 0 ......(2)

குறுக்குப் பெருக்கல் முறையைப் பயன்படுத்துவதற்காகக் கெழுக்களை நாம் பின்வருமாறு எழுதலாம்.

சரிபார்த்தல் :

3x−4y = 10 ...(1) 

3(2)−4(−1) = 10

6 + 4 = 10 

10 = 10 மெய்

4x + 3y = 5 ...(2) 

4(2) + 3(−1) = 5

8−3 = 5

5 = 5 மெய்

எனவே தீர்வானது x = 2, y = −1 ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 3.53

குறுக்குப் பெருக்கல் முறையைப் பயன்படுத்தித் தீர்க்க :

3x+5y = 21 மற்றும் −7x −6y = −49 

தீர்வு

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடுகளின் தொகுப்பு 3x+5y−21= 0; −7x −6y + 49 = 0 கெழுக்களைக் குறுக்குப் பெருக்கல் முறைக்காக எழுத நாம் பெறுவது,

சரிபார்த்தல்:

3x+5y = 21 ...(1)

3(7)+5(0) = 21

21 + 0 = 21

21 = 21 மெய்

−7x − 6y = −49 ...(2)

−7(7) − 6(0) = −49

−49 + 0 = −49

−49 = −49 மெய்

குறிப்பு:

இங்கே y/0 = 1/17 என்பது y = 0/17 ஆகும். ஆகவே இங்கு y/0 என்பது ஒரு குறியீடே அன்றி, அதனை 0 ஆல் வகுத்தல் எனப் பொருள் கொள்ளக்கூடாது. பூச்சியத்தால் ஓர் எண்ணை வகுத்தல் என்பது வரையறுக்கப்படவில்லை என்ற கூற்று எப்பொழுதும் மெய்யாகும்.