சர்வசம முக்கோணங்கள்

1. சர்வசம முக்கோணங்கள்

கொடுக்கப்பட்டுள்ள இரு முக்கோணங்கள் PQR மற்றும் ABC ஆகியவை சர்வசமம் (≡) ஆகும். ஏனெனில், இரு முக்கோணங்களின் ஒத்த பக்கங்களும் ஒத்த கோணங்களும் சர்வசமமாக உள்ளன. அதாவது PQ=AB, QR=BC, PR=AC மற்றும் ∠P = ∠A, ∠Q = ∠B, ∠R = ∠C ஆகும். இதனை நாம் ∆PQR ≡ ∆ABC எனக் குறிக்கலாம்.

இரண்டு முக்கோணங்கள் சர்வசமம் என நிரூபிக்க 4 வழிகள் உண்டு. அவையாவன:

(i) ப−ப−ப (பக்கம் − பக்கம் − பக்கம்) சர்வசமப்பண்பு 

ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்கள் மற்றொரு முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்களுக்குச் சமம் எனில், அவ்விரு முக்கோணங்களும் சர்வ சமம் ஆகும். அதாவது, AB = PQ, BC = QR, மற்றும் AC = PR எனில்,

⇒ ∆ABC ≡ ∆PQR.

(ii) ப− கோ−ப (பக்கம் − கோணம் − பக்கம்) சர்வசமப்பண்பு 

ஒரு முக்கோணத்தின் இரு பக்கங்களும் அவை உள்ளடக்கிய கோணமும், மற்றொரு முக்கோணத்தின் இரு பக்கங்களுக்கும் அவை உள்ளடக்கிய கோணத்திற்கும் சமமானால், அவ்விரு முக்கோணங்களும் சர்வ சமமாகும். இங்கு AC = PQ, ∠A = ∠P மற்றும் AB = PR ஆகவே, ∆ACB  ≡ ∆PQR.

(iii) கோ−ப−கோ (கோணம்−பக்கம்−கோணம்) சர்வசமப்பண்பு 

ஒரு முக்கோணத்தின் இரு கோணங்களும் அவற்றை உள்ளடக்கிய பக்கமும், மற்றொரு முக்கோணத்தின் இரு கோணங்களுக்கும் அவற்றை உள்ளடக்கிய பக்கத்திற்குச் சமமானால், அந்த இரு முக்கோணங்களும் சர்வசம முக்கோணங்களாகும். இங்கு ∠A = ∠R, CA=PR மற்றும் ∠C = ∠P, ஆகவே, ∆ABC  ≡  ∆RQP 

(iv) செ−க−ப (செங்கோணம் − கர்ணம் − பக்கம்) சர்வசமப்பண்பு 

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் கர்ணம் மற்றும் செங்கோணத்தை அடக்கிய பக்கங்களில் ஒன்று ஆகியவை, மற்றொரு செங்கோண முக்கோணத்தின் கர்ணம் மற்றும் செங்கோணத்தை அடக்கிய பக்கங்களில் ஒன்றுக்குச் சமமாக இருந்தால், அவ்விரு முக்கோணங்களும் சர்வசமம் ஆகும். இங்கு ∠B = ∠Q = 90° (செங்கோணம்)   , BC = QR (பக்கம்)   மற்றும் AC = PR (கர்ணம்). ஆகவே, ∆ABC  ≡  ∆PQR. 

குறிப்பு 

• எந்தவொரு கோட்டுத்துண்டும், கோணமும் அதற்கதுவே சர்வசமமாகும். இது, பிரதிபலிப்புப் பண்பு எனப்படும். 

• இரு முக்கோணங்கள் சர்வசமம் எனில், அவற்றின் ஒத்த பாகங்கள் சர்வசமமாகும். இது CPCTC (Corresponding parts of Congruent Triangles are Congruent) பண்பு எனப்படும்.

• “கோணங்கள் எனில் பக்கங்கள்" என்பது ஒரு முக்கோணத்தில் இரு கோணங்கள் சமம் எனில், அதன் எதிர்ப்பக்கங்கள் சமம் எனப் பொருள்படும். 

• "பக்கங்கள் எனில் கோணங்கள்" என்பது ஒரு முக்கோணத்தில் இரு பக்கங்கள் சமம் எனில், அதன் எதிர்க்கோணங்கள் சமம் எனப் பொருள்படும்.

இவற்றை முயல்க

பின்வருவனவற்றை அவற்றின் சர்வசமப் பண்புகளைக் கொண்டு பொருத்துக.

எடுத்துக்காட்டு 5.1

பின்வரும் படங்களில் உள்ள தெரியாத மதிப்புகளைக் காண்க.

தீர்வு : 

(i) படம் 5.7 (i) இலிருந்து, 140° + z = 180° (நேரியக்கோண இணைகள்)

⇒ z = 180° −140° = 40° 

மேலும், x + z = 70° + z (வெளிப்புறக்கோணப் பண்பு)

⇒ x = 70°

மேலும், z + y + 70° = 180° (∆ABC இல், கோணங்களின் கூடுதல் பண்பு)

⇒ 40° + y + 70° = 180°

⇒ y = 180° − 110° = 70° 

(ii) படம் 5.7 (ii) இலிருந்து PQ = PR

⇒ ∠Q = ∠R    (சம பக்கங்களின் எதிர்க்கோணங்கள் சமம்)

⇒ x = y 

⇒ x + y + 50° = 180° (∆PQR இல், கோணங்களின் கூடுதல் பண்பு)

⇒ 2x = 130° 

⇒ x = 65°

⇒ y = 65° 

(iii) படம் 5.7 (iii) இலிருந்து ∆ABC இல், ∠A = x (குத்தெதிர்க் கோணங்கள் சமம்) 

இதேபோன்று, ∠B = ∠C = x             (ஏன்?)

⇒ ∠A + ∠B + ∠C =180° ( ∆ABC இல் கோணங்களின் கூடுதல் பண்பு)

⇒ 3x = 180°

⇒ x = 60°

⇒ y = 180° − 60° = 120°

எடுத்துக்காட்டு 5.2 

(ப−ப−ப மற்றும் ப−கோ−ப சர்வசமப் பண்புகளை விளக்குகிறது) படம் 5.8 இல், ∠E = ∠S மற்றும் ES இன் மையப்புள்ளி G எனில், ∆GET  ≡  ∆GST என நிறுவுக.

நிரூபணம்:

சிந்திக்க

படத்தில் DA = DC மற்றும் BA = BC. முக்கோணங்கள் DBA மற்றும் DBC ஆகியவை சர்வ சமமா? ஏன்?

எடுத்துக்காட்டு 5.3 

(கோ−ப−கோ சர்வசமப் பண்பை விளக்குகிறது ) படம் 5.9 இல், ∠YTB ≡ ∠YBT மற்றும் ∠BOY ≡ ∠TRY எனில், ∆BOY ≡ ∆TRY என நிரூபி.

நிரூபணம்: 

எடுத்துக்காட்டு 5.4 

(செ−க−ப சர்வசமப் பண்பை விளக்குகிறது) 

தீர்வு :

TAP என்ற ஓர் இருசமபக்க முக்கோணத்தில், TA = TP மற்றும் ∠TSA = 90° எனில்,

(i) ∆TAS ≡ ∆TPS ஆகுமா? ஏன்? 

(ii) ∠P = ∠A ஆகுமா? ஏன்? 

(iii) AS = PS ஆகுமா ? ஏன்?

நிரூபணம்: 

(i) TA=TP கர்ண ம் மற்றும் ∠TSA = 90°

TS பொதுவான பக்கம்

ஆகவே, செ−க−ப சர்வசமப் பண்பின் படி, ∆TAS ≡ ∆TPS . 

(ii) TA=TP கொடுக்கப்பட்டுள்ளது

எனவே, ∠P = ∠A (பக்கங்கள் எனில் கோணங்கள்) 

(iii) (i) இலிருந்து ∆TAS ≡ ∆TPS,

CPCTC பண்பின் படி, AS = PS

உங்களுக்குத் தெரியுமா?

இரு முக்கோணங்கள் சர்வ சமம் என நிருபிக்க ப−ப−கோ மற்றும் கோ−ப−ப ஆகிய பண்புகள் போதுமானவையாக அமைவதில்லை. இது கொடுக்கப்பட்டுள்ள படத்தின் மூலம் விளக்கப்பட்டுள்ளது. இங்கு, வரையப்பட்ட முக்கோணங்கள் ABD மற்றும் ABC இல், BC = BD = a ஆகும். மேலும், பக்கம் AB மற்றும் ∠BAZ ஆகியவை பொதுவானவை. ஆனால், AC ≠ AD. ஆகவே, ∆ABD ஆனது ∆ABC இக்குச் சர்வசமம் அல்ல. எனவே, ப−ப−கோ பண்பு போதுமானதாக அமைவதில்லை.